Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của đường bay là $\overrightarrow{AB}=(3-(-40);5-30;0-20)=(43;-25;-20)$, với $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{43^2+25^2+20^2}=\sqrt{2874}\approx 53,61$. Vì mặt phẳng hạ cánh là $(Oxy)$, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \phi =\frac{|-20|}{\sqrt{2874}}$, nên $\cos \phi =\frac{\sqrt{43^2+25^2}}{\sqrt{2874}}=\frac{\sqrt{2474}}{\sqrt{2874}}\approx \frac{49,7394}{53,6097}\approx 0,9278$. Làm tròn đến hàng phần trăm: $\cos \phi \approx 0,93$. Các hình minh họa không chứa số liệu bổ sung.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(1;-3;4) vào (P): 1+2(-3)-2(4)+2 = -11 ≠ 0 nên M không thuộc (P) → sai. b) Đường thẳng qua M vuông góc (P) có VTCP là pháp tuyến n=(1;2;-2), nên phương trình: x=1+t, y=-3+2t, z=4-2t, khác đề → sai. c) u_d=(1;-1;2), n=(1;2;-2): sinα = |u·n|/(|u||n|) = |1-2-4|/(√6·3) = 5/(3√6) = 5√6/18 → đúng. d) Hình chiếu của u_d lên (P): u - (u·n/|n|²)n = (1;-1;2) - (-5/9)(1;2;-2) = (14/9;1/9;8/9) ∝ (14;1;8). Điểm (0;0;1) thuộc d và thuộc (P) nên hình chiếu là đường thẳng x/14 = y/1 = (z-1)/8 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;-3;4): 1+2(-3)-2(4)+2 = -11 ≠ 0 nên M không thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua M vuông góc (P) phải có VTCP (1;2;-2): x=1+t, y=-3+2t, z=4-2t, khác phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
sinα = |1-2-4|/(√6·3) = 5/(3√6) = 5√6/18.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của VTCP (1;-1;2) lên (P) là (14;1;8); điểm (0;0;1) chung của d và (P), nên phương trình x/14 = y/1 = (z-1)/8.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $(-2;1;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;2;1)$. Tham số hóa: $x=-2+2t,y=1+2t,z=t$. Thay vào $(P):x+y+z+6=0$: $(-2+2t)+(1+2t)+t+6=0\Rightarrow 5t+5=0\Rightarrow t=-1$. Suy ra $M(-4;-1;-1)$. Đường $\Delta$ nằm trong $(P)$ nên vectơ chỉ phương $\vec{v}$ vuông góc với pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;1)$, đồng thời $\vec{v}\perp \vec{u}$. Chọn $\vec{v}=\vec{u}\times \vec{n}=(2;2;1)\times (1;1;1)=(2\cdot 1-1\cdot 1;1\cdot 1-2\cdot 1;2\cdot 1-2\cdot 1)=(1;-1;0)$. Vì $N(2;b;c)\in \Delta$ qua $M(-4;-1;-1)$: $\frac{2+4}{1}=\frac{b+1}{-1}=\frac{c+1}{0}$, suy ra tham số $s=6$, $b=-1-6=-7$, $c=-1$. Vậy $T=b\cdot c=(-7)(-1)=7$.

(AI giải đề cho tôi)
a) VTCP của Δ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(2;1;1)$, VTPT của (P) là $\vec{n}=(1;-1;3)$. $\sin \alpha =\frac{|2-1+3|}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{66}}\approx 0,4924\Rightarrow \alpha \approx 29^{\circ }30^{\prime }\ne 60^{\circ }30^{\prime }$. Sai.
b) Với $\vec{u}=(1;1;0)$: $\cos =\frac{|2+1|}{\sqrt{2}\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$ góc bằng $30^{\circ }$. Đúng.
c) $M(1;-2;1)\in (P)$. Hình chiếu của $\overrightarrow{u_{\Delta }}$ lên (P): $\overrightarrow{v^{\prime }}=\overrightarrow{u_{\Delta }}-\frac{\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot \vec{n}}{|\vec{n}{|}^2}\vec{n}=(18/11;15/11;-1/11)$, $|\overrightarrow{v^{\prime }}|=\sqrt{50/11}\approx 2,132$. Cần $|\cos (\vec{u},\overrightarrow{v^{\prime }})|=\frac{(\sqrt{3}/2)|\overrightarrow{u_{\Delta }}|}{|\overrightarrow{v^{\prime }}|}=\frac{0,866\cdot 2,449}{2,132}\approx 0,9947<1$, nên trong mặt phẳng (P) có đúng 2 phương $\vec{u}$ thỏa mãn, mỗi phương cho đúng một đường thẳng qua M. Vậy tồn tại đúng hai đường thẳng d. Đúng.
d) $\vec{u}=(m;-20;3)$ phải nằm trong (P): $m+20+9=0\Rightarrow m=-29<0$. Kiểm tra: $\cos =\frac{|-58-20+3|}{\sqrt{1250}\sqrt{6}}=\frac{75}{50\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, góc đúng $30^{\circ }$ nhưng $m=-29<0$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{4}{\sqrt{66}}\approx 0,4924\Rightarrow \alpha \approx 29^{\circ }30^{\prime }\ne 60^{\circ }30^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos =\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 30^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng (P) qua M có đúng hai phương tạo với Δ góc 30° vì $\frac{(\sqrt{3}/2)\sqrt{6}}{\sqrt{50/11}}\approx 0,9947<1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện nằm trong (P) cho $m=-29<0$ (góc vẫn đúng 30°).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta )$ có vtcp $\vec{u}=(1;-2;2)$, mặt phẳng $(P)$ có vtpt $\vec{n}=(m;-2;m-1)$.

a) Với $m=-2$: $\vec{n}=(-2;-2;-3)$, không cùng phương với $\vec{u}=(1;-2;2)$ nên $\Delta$ không vuông góc $(P)$. Sai.

b) Với $m=1$: $\vec{n}=(1;-2;0)$, $\vec{u}\cdot \vec{n}=1+4+0=5\ne 0$ nên $\Delta$ không song song hoặc nằm trên $(P)$. Sai.

c) Với $m=-1$: $\vec{n}=(-1;-2;-2)$, $|\vec{n}|=3$, $|\vec{u}|=3$, $|\vec{u}\cdot \vec{n}|=|-1+4-4|=1$. $\sin \alpha =\frac{1}{9}\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{81}}=\frac{\sqrt{80}}{9}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$. Đúng.

d) $\vec{u}\cdot \vec{n}=m+4+2(m-1)=3m+2$, nên $\sin 30^{\circ }=\frac{|3m+2|}{3\sqrt{m^2+4+(m-1{)}^2}}=\frac{|3m+2|}{3\sqrt{2m^2-2m+5}}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 4(3m+2{)}^2=9(2m^2-2m+5)\Rightarrow 18m^2+66m-29=0$. Hai nghiệm phân biệt (vì $\Delta >0$) đều thỏa, tổng $m_1+m_2=-\frac{66}{18}=-\frac{11}{3}$, tức $a=-11,b=3$ (tối giản, $b>0$). Khi đó $a+b^2=-11+9=-2$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=-2$, $\vec{n}=(-2;-2;-3)$ không cùng phương với $\vec{u}=(1;-2;2)$ nên $\Delta$ không vuông góc $(P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=1$, $\vec{n}=(1;-2;0)$, $\vec{u}\cdot \vec{n}=5\ne 0$ nên $\Delta$ không song song hoặc nằm trên $(P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=-1$: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{1}{9}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{4\sqrt{5}}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\vec{u}\cdot \vec{n}=3m+2$, giải $\sin 30^{\circ }=\frac{|3m+2|}{3\sqrt{2m^2-2m+5}}$ được $18m^2+66m-29=0$, tổng hai nghiệm $=-\frac{11}{3}$, nên $a=-11,b=3$, $a+b^2=-11+9=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của (d) là $\vec{u}=\overrightarrow{n_{\alpha }}\times \overrightarrow{n_{\beta }}$ với $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(3;-2;2)$, $\overrightarrow{n_{\beta }}=(5;-4;3)$. Tính tích có hướng: $\vec{u}=((-2)(3)-2(-4);2\cdot 5-3\cdot 3;3(-4)-(-2)(5))=(2;1;-2)$, nên $|\vec{u}|=3$. Mặt phẳng $(Oxy)$ có VTPT $\vec{k}=(0;0;1)$. Sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{k}|}{|\vec{u}||\vec{k}|}=\frac{|-2|}{3}=\frac{2}{3}$. Vậy $a=2$, $b=3$ (nguyên tố cùng nhau), $a+b=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u}=(-1;1;1)$, điểm $A(2;-3;1)$. Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(m^2;-2m;6-3m)$. Để $d\parallel (P)$ cần $\vec{u}\cdot \vec{n}=0$: $-m^2-2m+6-3m=0\iff -m^2-5m+6=0\iff m^2+5m-6=0\iff m=1$ hoặc $m=-6$. Kiểm tra $d\not\subset (P)$: với $m=1$, thay $A(2;-3;1)$: $2+6+3-5=6\ne 0$; với $m=-6$: $72-36+24-5=55\ne 0$. Vậy cả hai giá trị đều thỏa, tổng $1+(-6)=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{a_d}=(1;2;-3)$, mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;-2;-2)$.

a) $\vec{a}=(-1;-2;3)=-\overrightarrow{a_d}$ cùng phương với VTCP của $d$ nên là một VTCP của $d$. Đúng.

b) Phương trình tham số của $d$: $x=2+t,y=-2+2t,z=1-3t$. Thay vào $(P)$: $(2+t)-2(-2+2t)-2(1-3t)-3=0\iff 1+3t=0\iff t=-\frac{1}{3}$. Giao điểm $H\left(\frac{5}{3};-\frac{8}{3};2\right)$. Đúng.

c) $\vec{u}=(10;1;4)$ có $\vec{u}\cdot \overrightarrow{a_d}=10+2-12=0$ nên $\vec{u}$ vuông góc với $d$, đồng thời $\vec{u}\cdot \vec{n}=10-2-8=0$ nên $\vec{u}$ nằm trong $(P)$. Vậy $\vec{u}$ là VTCP của $\Delta$ chứ không phải của $d$. Sai.

d) Đường thẳng $\frac{x-3}{10}=\frac{y}{1}=\frac{z}{4}$ đi qua điểm $(3;0;0)$ với VTCP $\vec{u}=(10;1;4)$. Kiểm tra: $(3;0;0)\in (P)$ vì $3-0-0-3=0$; $\vec{u}$ vuông góc với $d$ và nằm trong $(P)$ (theo c). Vậy đường thẳng này thỏa mãn điều kiện của $\Delta$ (đề không yêu cầu $\Delta$ đi qua $H$). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=(-1;-2;3)$ cùng phương với VTCP $(1;2;-3)$ của $d$ nên là một vecto chỉ phương của $d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay phương trình tham số của $d$ vào $(P)$ được $t=-\frac{1}{3}$, giao điểm $\left(\frac{5}{3};-\frac{8}{3};2\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(10;1;4)$ vuông góc với $d$ (tích có hướng với $\vec{n}$ và $\overrightarrow{a_d}$) nên là VTCP của $\Delta$, không phải của $d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $(3;0;0)\in (P)$, VTCP $(10;1;4)$ nằm trong $(P)$ và vuông góc với $d$, nên thỏa mãn định nghĩa của $\Delta$ (đề bài không yêu cầu $\Delta$ đi qua giao điểm $H$).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của EF là $I\left(\frac{-6+2}{2};\frac{2-2}{2};\frac{5-1}{2}\right)=I(-2;0;2)$. Vì $d\perp (P)$ nên $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;7;-8)$, phương trình: $(-2+2t;7t;2-8t)$. Điểm $M(0;m;n)\in d$ nên $-2+2t=0\Rightarrow t=1$, suy ra $m=7$, $n=2-8=-6$. Vậy $OM=\sqrt{0^2+7^2+(-6{)}^2}=\sqrt{85}\approx 9,22$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 9,22.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của EF là $I\left(\frac{-6+2}{2};\frac{2-2}{2};\frac{5-1}{2}\right)=I(-2;0;2)$. Vì $d\perp (P)$ nên $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;7;-8)$, phương trình: $x=-2+2t,y=7t,z=2-8t$. M(0;m;n) thuộc d: $-2+2t=0\Rightarrow t=1$, suy ra $m=7$, $n=2-8=-6$. Vậy $OM=\sqrt{0^2+7^2+(-6{)}^2}=\sqrt{85}\approx 9,22$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-1)$ → Đúng.
c) Điểm $A$ thuộc $d$ có tọa độ dạng $A(t;-1-t;2+2t)$ → Đúng.
b) $\overrightarrow{AM}=(3-t;1-(-1-t);9-(2+2t))=(3-t;2+t;7-2t)$. Điều kiện $AM\parallel (\alpha )$: $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0\iff (3-t)+(2+t)-(7-2t)=0\iff 2t-2=0\iff t=1$. Khi đó $A(1;-2;4)$, $\overrightarrow{AM}=(2;3;5)$, $AM=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}$ → Đúng.
d) Thay $M(3;1;9)$ vào $(\alpha )$: $3+1-9+3=-2\ne 0$ nên $M\notin (\alpha )$ → Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp bảng đáp án mã đề 1002 (ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(\alpha ):x+y-z+3=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A(t;-1-t;2+2t)$, $\overrightarrow{AM}=(3-t;2+t;7-2t)$. $AM\parallel (\alpha )\iff \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0\iff (3-t)+(2+t)-(7-2t)=0\iff t=1$. Khi đó $A(1;-2;4)$, $AM=\sqrt{2^2+3^2+5^2}=\sqrt{38}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo phương trình tham số của $d$, mọi điểm trên $d$ có tọa độ $A(t;-1-t;2+2t)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;1;9)$: $3+1-9+3=-2\ne 0$, nên $M$ không thuộc $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(3;2;-1) vào (P): 3+2-(-1)+3=9≠0 nên M không thuộc (P) → Sai. b) Từ phương trình tham số, vectơ chỉ phương của d là u=(1;-2;2) → Đúng. c) Phương trình chính tắc đúng là (x-3)/1=(y-2)/(-2)=(z+1)/2, mẫu số của z phải là 2 chứ không phải -2 → Sai. d) Δ⊥(P) nên vectơ chỉ phương của Δ là u=n_P=(1;1;-1). Góc giữa Δ và (Q) là 30° nên sin30°=|u·n_Q|/(|u||n_Q|) với n_Q=(1;m;0): |1+m|/(√3·√(1+m²))=1/2 ⟺ 4(1+m)²=3(1+m²) ⟺ m²+8m+1=0. Hai nghiệm có tổng bằng -8, đúng như khẳng định → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
3+2-(-1)+3=9≠0 nên M không thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của d, vectơ chỉ phương là u=(1;-2;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc đúng là (x-3)/1=(y-2)/(-2)=(z+1)/2; ý c viết mẫu số của z là -2 là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
u=(1;1;-1), sin30°=|1+m|/(√3√(1+m²)) ⟹ m²+8m+1=0, tổng hai nghiệm bằng -8.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-4;10;-8)$ cùng phương với $(2;-5;4)$ → đúng. b) Thay $A(1;-2;7)$ vào (P): $1-2(-2)+3(7)-1=25\ne 0$ nên A không thuộc (P) → sai. c) $\sin \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n}||\vec{u}|}=\frac{24}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{45}}\approx 0,956$ → góc giữa AB và VTPT của (P) $\approx 73°$; góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là $90°-73°\approx 17°\ne 16°$ → sai. d) Δ qua A, VTCP $(1;-2;3)$ là VTPT của (P) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-4;10;-8)=-2(2;-5;4)$, nên $(2;-5;4)$ là một VTCP của đường thẳng AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A vào (P): $1-2(-2)+3(7)-1=25\ne 0$, nên A không thuộc (P); đường thẳng AB không cắt (P) tại A.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(2;-5;4)$, $\vec{n}=(1;-2;3)$. $\sin \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n}||\vec{u}|}=\frac{24}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{45}}\approx 0,956$, nên góc giữa AB và VTPT của (P) là $\approx 73°$. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là $90°-73°\approx 17°$ (làm tròn đến độ), khác 16° → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ đi qua $A(1;-2;7)$ và có VTCP là VTPT của (P): $(1;-2;3)$, nên phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-7}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bức tường chứa hai điểm A(10;0;0), B(0;10;0) và vuông góc với mặt đất nên phương trình tường là mặt phẳng x + y = 10. Ống dẫn dầu là đường thẳng MN với N(1;2;0), M(7;8;12): phương trình tham số x = 1 + 6t, y = 2 + 6t, z = 12t. Thay vào x + y = 10: 3 + 12t = 10 ⟹ t = 7/12... kiểm tra lại: (1+6t)+(2+6t) = 3 + 12t = 10 ⟹ t = 7/12. Khi đó I = (1 + 6·7/12; 2 + 6·7/12; 12·7/12) = (4,5; 5,5; 7). Vậy a + b + c = 4,5 + 5,5 + 7 = 17.

(AI giải đề cho tôi)
d có VTCP $\vec{u}=(1;2;1)$, $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;1;-3)$. a) $\vec{u}\cdot \vec{n}=1+2-3=0$ và điểm $(1;-2;0)\in d$ thay vào $(P)$: $1-2-0-5=-6\ne 0$ nên điểm không thuộc $(P)$, suy ra $d\parallel (P)$: Đúng. b) $d(O,(P))=\frac{|-5|}{\sqrt{1+1+9}}=\frac{5}{\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{11}}{11}$: Đúng. c) $d^{\prime }$ song song với $d$ phải có VTCP $(1;2;1)$, nhưng phương trình đã cho có VTCP $(1;2;-1)$: Sai. d) Giao điểm của $d$ với $(Oxy)$: $z=0\Rightarrow t=0\Rightarrow (1;-2;0)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+0}=\sqrt{5}\ne 5$: Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}\cdot \vec{n}=1+2-3=0$ và điểm $(1;-2;0)\in d$ không thuộc $(P)$ nên $d\parallel (P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,(P))=\frac{5}{\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{11}}{11}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTCP phải là $(1;2;1)$, không phải $(1;2;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là $(1;-2;0)$, $R=\sqrt{5}\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ là trung điểm $AB$ nên $B=2C-A$. Điểm $C$ thuộc $d$: $C=(1+2t;-1-t;4+t)$. Suy ra $B=(1+4t;-4-2t;9+2t)$. Vì $B\in (P)$: $x+3y-2z+2=0$ nên $1+4t+3(-4-2t)-2(9+2t)+2=0\Rightarrow -27-6t=0\Rightarrow t=-\frac{9}{2}$. Khi đó $C=\left(-8;\frac{7}{2};-\frac{1}{2}\right)$, tức $a=-8,b=\frac{7}{2},c=-\frac{1}{2}$. Vậy $S=a+b+c=-8+\frac{7}{2}-\frac{1}{2}=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay B(0;1;-6) vào (P): 4·0 - 1 + 2·(-6) + 13 = 0, nên B thuộc (P): đúng.
b) $\overrightarrow{AB}$ = (-1;-1;-9) cùng hướng với $\vec{v}$ = (-2;-2;-18). |AB| = √83 ≈ 9,11 km. Quãng đường đi được trong 1 phút với vận tốc 800 m/s = 0,8 km/s là 48 km ≠ 9,11 km (thời gian thực tế ≈ 11,4 s). Sai.
c) sin góc giữa AB và (P) = |$\overrightarrow{AB}$·$\vec{n}$|/(|AB||n|) = |-4+1-18|/(√83·√21) = 21/√1743 = √(21/83) ≈ 0,503 → góc ≈ 30°, không phải 60°. Sai.
d) Hình chiếu vuông góc của A(1;2;3) trên (Oxy) là H(1;2;0), không phải (0;2;3). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
4·0 - 1 + 2·(-6) + 13 = 0 nên B thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
|AB| = √83 ≈ 9,11 km; trong 60 s viên đạn đi 0,8·60 = 48 km ≠ 9,11 km (thời gian đến B chỉ ≈ 11,4 s).
c) (AI giải đề cho tôi)
sinθ = 21/(√83·√21) = √(21/83) ≈ 0,503 → θ ≈ 30°, không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(1;2;3) trên (Oxy) là H(1;2;0).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm trên ba trục nên có dạng x/(8/3)+y/2+z/(8/5)=1, tức 3x/8 + y/2 + 5z/8 = 1, suy ra (ABC): 3x+4y+5z-8=0 với vectơ pháp tuyến n=(3;4;5). Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương u=(-3;-4;-5) = -n, tức u song song với n. Do đó Δ vuông góc với (ABC), góc giữa Δ và (ABC) bằng 90°. Kiểm tra: sin góc = |u·n|/(|u||n|) = |−9−16−25|/(√50·√50) = 50/50 = 1, nên góc = 90°.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: $d$ có VTCP $\overrightarrow{u_d}=(2;1;3)$, đi qua điểm $(-1;0;-2)$. a) Sai: $(-1;0;-2)$ là tọa độ điểm thuộc $d$, không phải VTCP. b) Thay $x=-1+2t,y=t,z=-2+3t$ vào $(P)$: $-1+2t+2t-2+3t-4=0\iff 7t=7\iff t=1$, nên $d$ cắt $(P)$ tại một điểm → Đúng. c) Với $t=1$: $H=(1;1;1)\ne (1;-1;1)$ → Sai. d) $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(5;-1;-3)$: $\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot \overrightarrow{u_d}=10-1-9=0$ nên vuông góc với $d$; $\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot (1;2;1)=5-2-3=0$ nên $\Delta \parallel (P)$; điểm $(1;1;1)$ thuộc $d$ và thỏa $1+2+1-4=0$ nên $\Delta \subset (P)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d$ là $(2;1;3)$; $(-1;0;-2)$ là điểm thuộc $d$, không phải vecto chỉ phương.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay phương trình tham số vào $(P)$ được $7t-7=0\Rightarrow t=1$, nên $d$ cắt $(P)$ tại một điểm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=1$ ta được $H=(1;1;1)$, không phải $(1;-1;1)$. Kiểm tra: $1+2+1-4=0$ đúng cho $(1;1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_{\Delta }}=(5;-1;-3)$ vuông góc với $\overrightarrow{u_d}=(2;1;3)$ vì tích vô hướng bằng 0; song song với $(P)$ vì vuông góc với VTPT $(1;2;1)$; đi qua $H(1;1;1)\in (P)$ nên $\Delta \subset (P)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1;2)$.
a) Đúng: $\overrightarrow{u}=(1;1;2)$ là một vecto chỉ phương của $d$.
b) Sai: Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;0;2)$ và vuông góc với $d$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}=(1;1;2)$, phương trình: $1(x-1)+1(y-0)+2(z-2)=0\iff x+y+2z-5=0$, không phải $x+y+2z-1=0$.
c) Sai: Điểm trên $d$ có dạng $(1+t;t;-1+2t)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=(t;t;-3+2t)$. Điều kiện $\overrightarrow{AH}\perp d$: $t+t+2(-3+2t)=6t-6=0\Rightarrow t=1$. Vậy $H(2;1;1)\ne (1;0;-1)$.
d) Đúng: $\Delta$ đi qua $A$, vuông góc và cắt $d$ tại $H$ nên vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{AH}=(1;1;-1)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{u}=1+1-2=0$ (vuông góc với $d$). Phương trình $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$ đúng như đề.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chính tắc của $d$, vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(P)$ qua $A(1;0;2)$ với $\overrightarrow{n}=(1;1;2)$: $x+y+2z-5=0$, không phải $x+y+2z-1=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm trên $d$: $(1+t;t;-1+2t)$, điều kiện $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{u}=6t-6=0\Rightarrow t=1$, suy ra $H(2;1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ qua $A$ và cắt $d$ vuông góc tại $H(2;1;1)$ nên có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AH}=(1;1;-1)$, cho phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$.