Trong hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):x-y+3z-6=0$ và đường thẳng $(\Delta ):\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{1}$. Xét $(d)$ là đường thẳng thay đổi đi qua $M(1;-2;1)$ và nằm trong mp$(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) VTCP của Δ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(2;1;1)$, VTPT của (P) là $\vec{n}=(1;-1;3)$. $\sin \alpha =\frac{|2-1+3|}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{66}}\approx 0,4924\Rightarrow \alpha \approx 29^{\circ }30^{\prime }\ne 60^{\circ }30^{\prime }$. Sai.
b) Với $\vec{u}=(1;1;0)$: $\cos =\frac{|2+1|}{\sqrt{2}\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$ góc bằng $30^{\circ }$. Đúng.
c) $M(1;-2;1)\in (P)$. Hình chiếu của $\overrightarrow{u_{\Delta }}$ lên (P): $\overrightarrow{v^{\prime }}=\overrightarrow{u_{\Delta }}-\frac{\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot \vec{n}}{|\vec{n}{|}^2}\vec{n}=(18/11;15/11;-1/11)$, $|\overrightarrow{v^{\prime }}|=\sqrt{50/11}\approx 2,132$. Cần $|\cos (\vec{u},\overrightarrow{v^{\prime }})|=\frac{(\sqrt{3}/2)|\overrightarrow{u_{\Delta }}|}{|\overrightarrow{v^{\prime }}|}=\frac{0,866\cdot 2,449}{2,132}\approx 0,9947<1$, nên trong mặt phẳng (P) có đúng 2 phương $\vec{u}$ thỏa mãn, mỗi phương cho đúng một đường thẳng qua M. Vậy tồn tại đúng hai đường thẳng d. Đúng.
d) $\vec{u}=(m;-20;3)$ phải nằm trong (P): $m+20+9=0\Rightarrow m=-29<0$. Kiểm tra: $\cos =\frac{|-58-20+3|}{\sqrt{1250}\sqrt{6}}=\frac{75}{50\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, góc đúng $30^{\circ }$ nhưng $m=-29<0$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{4}{\sqrt{66}}\approx 0,4924\Rightarrow \alpha \approx 29^{\circ }30^{\prime }\ne 60^{\circ }30^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos =\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 30^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng (P) qua M có đúng hai phương tạo với Δ góc 30° vì $\frac{(\sqrt{3}/2)\sqrt{6}}{\sqrt{50/11}}\approx 0,9947<1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện nằm trong (P) cho $m=-29<0$ (góc vẫn đúng 30°).