Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=\frac{2x-3}{x-2}$, $\forall x\in \mathbb{R}\setminus \{2\}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và $f(3)=2$. Giá trị của biểu thức $f(0)+2f(4)$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2x-3}{x-2}=2+\frac{1}{x-2}$, nên $f(x)=2x+\ln |x-2|+C$ trên mỗi khoảng của tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Vì $f$ xác định trên hai khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, hằng số nguyên hàm có thể khác nhau trên mỗi khoảng.

Trên $(-\infty ;2)$: $f(1)=2+\ln 1+C_1=1\Rightarrow C_1=-1$, nên $f(x)=2x+\ln |x-2|-1$. Suy ra $f(0)=0+\ln 2-1=\ln 2-1$.

Trên $(2;+\infty )$: $f(3)=6+\ln 1+C_2=2\Rightarrow C_2=-4$, nên $f(x)=2x+\ln |x-2|-4$. Suy ra $f(4)=8+\ln 2-4=4+\ln 2$.

Vậy $f(0)+2f(4)=(\ln 2-1)+2(4+\ln 2)=7+3\ln 2$. Đáp án C.