Trong không gian $Oxyz$, cho $M(1;-3;4)$, đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z+2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(1;-3;4) vào (P): 1+2(-3)-2(4)+2 = -11 ≠ 0 nên M không thuộc (P) → sai. b) Đường thẳng qua M vuông góc (P) có VTCP là pháp tuyến n=(1;2;-2), nên phương trình: x=1+t, y=-3+2t, z=4-2t, khác đề → sai. c) u_d=(1;-1;2), n=(1;2;-2): sinα = |u·n|/(|u||n|) = |1-2-4|/(√6·3) = 5/(3√6) = 5√6/18 → đúng. d) Hình chiếu của u_d lên (P): u - (u·n/|n|²)n = (1;-1;2) - (-5/9)(1;2;-2) = (14/9;1/9;8/9) ∝ (14;1;8). Điểm (0;0;1) thuộc d và thuộc (P) nên hình chiếu là đường thẳng x/14 = y/1 = (z-1)/8 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;-3;4): 1+2(-3)-2(4)+2 = -11 ≠ 0 nên M không thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua M vuông góc (P) phải có VTCP (1;2;-2): x=1+t, y=-3+2t, z=4-2t, khác phương trình đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
sinα = |1-2-4|/(√6·3) = 5/(3√6) = 5√6/18.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của VTCP (1;-1;2) lên (P) là (14;1;8); điểm (0;0;1) chung của d và (P), nên phương trình x/14 = y/1 = (z-1)/8.