Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=a$. Trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, kẻ $A^{\prime }H\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $H$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(2a;0;0)$, $C=(a;a\sqrt{3};0)$, $A^{\prime }=(0;0;a)$, $B^{\prime }=(2a;0;a)$, $C^{\prime }=(a;a\sqrt{3};a)$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều cạnh $2a$ nên $H$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$: $H=\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$, $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$.
a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(3a;a\sqrt{3};2a)=2\overrightarrow{AH}$ → đúng.
b) $\overrightarrow{BC}=(-a;a\sqrt{3};0)$, tích vô hướng với $\overrightarrow{AH}$: $-\frac{3a^2}{2}+\frac{3a^2}{2}+0=0$ → góc $90^{\circ }$, đúng.
c) $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=(2a;0;0)$, $\overrightarrow{BH}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a\right)$, tích vô hướng $=-a^2\ne a^2$ → sai.
d) $K\in AH$: $\overrightarrow{AK}=t\overrightarrow{AH}$. Điều kiện $(\overrightarrow{A^{\prime }}-\overrightarrow{K})\cdot \overrightarrow{AH}=0$ cho $a^2-4a^{2}t=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}$, nên $\overrightarrow{AK}=\left(\frac{3a}{8};\frac{a\sqrt{3}}{8};\frac{a}{4}\right)$. Với $\vec{a}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;0;a)$, $\vec{b}=\overrightarrow{AB}=(2a;0;0)$, $\vec{c}=\overrightarrow{AC}=(a;a\sqrt{3};0)$: từ thành phần $y$: $p=\frac{1}{8}$; từ $x$: $2n+p=\frac{3}{8}\Rightarrow n=\frac{1}{8}$; từ $z$: $m=\frac{1}{4}$. Vậy $m+n-p=\frac{1}{4}\ne a\sqrt{3}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=2\overrightarrow{AH}$ (kiểm tra bằng tọa độ: $(3a;a\sqrt{3};2a)=(3a;a\sqrt{3};2a)$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên góc giữa hai vectơ bằng $90^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BH}=(2a)(-a/2)=-a^2\ne a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $m=\frac{1}{4}$, $n=\frac{1}{8}$, $p=\frac{1}{8}$ nên $m+n-p=\frac{1}{4}\ne a\sqrt{3}$.