Nếu $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2x}$ và $F(1)=1$ thì giá trị của $F(4)$ bằng

Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|2^x-4\right|dx=a+\frac{b}{c\ln 2}$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $P=a^2+b^2+c^2$.

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=f(x)$, $y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a$, $x=b$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C):y=f(x)$, trục hoành, hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ (như hình vẽ dưới đây). Giả sử $S_D$ là diện tích hình phẳng $D$. đúng trong các phương án A, B, C, D cho dưới đây?

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=3$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1\le x\le 3)$ cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $3x^2-2$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;1;1)$ và $B(1;2;3)$. Viết phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2;2;1)$ và có một vecto chỉ phương $\vec{u}=(5;2;-3)$. Phương trình của $d$ là:

Cho hàm số $f(x)=3x^2+1$. Gọi $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Cho hàm số $f(x)=x^2+2x$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-5=0$; $(Q):4x-2y+4z+1-m=0$ và điểm $M(2;1;5)$.

Trong không gian Oxyz, cho các đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2-3t\\ z=3+4t\end{array}(t\in \mathbb{R})$, $d_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-3}=\frac{z+3}{2}$ và mặt phẳng $(P):x+3y-2z+1=0$

Hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và: $f^{\prime }(x)=2024-2{\sin }^2\frac{x}{2},\forall x,f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{2023\pi }{2}$. Tính $f(0)$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-1& \text{khi }x<0\\ x-1& \text{khi }0\le x\le 2\\ 5-2x& \text{khi }x>2\end{array}$. Tính tích phân $I=\underset{-5}{\overset{9}{\int }}\frac{1}{7}f(t)\mathrm{d}t$.

Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v(t)=7t(\text{m/s})$. Đi được 5 (s) người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-35({\text{m/s}}^2)$. Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?

Nhân dịp đi dã ngoại, lớp 12A dự kiến dựng một cái trại có dạng hình Parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 5 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Thể tích phần không gian bên trong lều trại bằng bao nhiêu mét khối?

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$ có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100m$, chiều rộng $OD=60m$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$.



Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$ (kết quả làm tròn tới hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=-3+t\\ z=1+t\end{array}$ $(t\in \mathbb{R})$ và mặt phẳng $(P):m^{2}x-2my+(6-3m)z-5=0$. Tổng các giá trị của m để d // (P) bằng bao nhiêu?