Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|2^x-4\right|dx=a+\frac{b}{c\ln 2}$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính $P=a^2+b^2+c^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $2^x-4$ đổi dấu tại $x=2$ (vì $2^2=4$). Do đó
$$I={\int }_0^2(4-2^x)dx+{\int }_2^3(2^x-4)dx.$$
Tính từng phần:
$${\int }_0^2(4-2^x)dx={\left[4x-\frac{2^x}{\ln 2}\right]}_0^2=(8-\frac{4}{\ln 2})-\left(0-\frac{1}{\ln 2}\right)=8-\frac{3}{\ln 2},$$
$${\int }_2^3(2^x-4)dx={\left[\frac{2^x}{\ln 2}-4x\right]}_2^3=\left(\frac{8}{\ln 2}-12\right)-\left(\frac{4}{\ln 2}-8\right)=\frac{4}{\ln 2}-4.$$
Cộng lại:
$$I=8-\frac{3}{\ln 2}+\frac{4}{\ln 2}-4=4+\frac{1}{\ln 2}.$$
Vậy $a=4,b=1,c=1$ (phân số $\frac{1}{1}$ tối giản), suy ra
$$P=a^2+b^2+c^2=16+1+1=18.$$
Đáp án D.