Cho đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{-3}$ và mặt phẳng $(P):x-2y-2z-3=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trên mặt phẳng $(P)$ và vuông góc với đường thẳng $d$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{a_d}=(1;2;-3)$, mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;-2;-2)$.

a) $\vec{a}=(-1;-2;3)=-\overrightarrow{a_d}$ cùng phương với VTCP của $d$ nên là một VTCP của $d$. Đúng.

b) Phương trình tham số của $d$: $x=2+t,y=-2+2t,z=1-3t$. Thay vào $(P)$: $(2+t)-2(-2+2t)-2(1-3t)-3=0\iff 1+3t=0\iff t=-\frac{1}{3}$. Giao điểm $H\left(\frac{5}{3};-\frac{8}{3};2\right)$. Đúng.

c) $\vec{u}=(10;1;4)$ có $\vec{u}\cdot \overrightarrow{a_d}=10+2-12=0$ nên $\vec{u}$ vuông góc với $d$, đồng thời $\vec{u}\cdot \vec{n}=10-2-8=0$ nên $\vec{u}$ nằm trong $(P)$. Vậy $\vec{u}$ là VTCP của $\Delta$ chứ không phải của $d$. Sai.

d) Đường thẳng $\frac{x-3}{10}=\frac{y}{1}=\frac{z}{4}$ đi qua điểm $(3;0;0)$ với VTCP $\vec{u}=(10;1;4)$. Kiểm tra: $(3;0;0)\in (P)$ vì $3-0-0-3=0$; $\vec{u}$ vuông góc với $d$ và nằm trong $(P)$ (theo c). Vậy đường thẳng này thỏa mãn điều kiện của $\Delta$ (đề không yêu cầu $\Delta$ đi qua $H$). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=(-1;-2;3)$ cùng phương với VTCP $(1;2;-3)$ của $d$ nên là một vecto chỉ phương của $d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay phương trình tham số của $d$ vào $(P)$ được $t=-\frac{1}{3}$, giao điểm $\left(\frac{5}{3};-\frac{8}{3};2\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(10;1;4)$ vuông góc với $d$ (tích có hướng với $\vec{n}$ và $\overrightarrow{a_d}$) nên là VTCP của $\Delta$, không phải của $d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $(3;0;0)\in (P)$, VTCP $(10;1;4)$ nằm trong $(P)$ và vuông góc với $d$, nên thỏa mãn định nghĩa của $\Delta$ (đề bài không yêu cầu $\Delta$ đi qua giao điểm $H$).