Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos (3x)$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $K$. Khẳng định nào sau đây là đúng về định nghĩa nguyên hàm?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $c$ là một số thực thuộc đoạn $[a;b]$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):4x+3y-7z+1=0$. Phương trình tham số của $d$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha )$ cắt ba trục tọa độ tại ba điểm $M(8;0;0)$, $N(0;-2;0)$ và $P(0;0;4)$. Phương trình của mặt phẳng $(\alpha )$ là:

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^3+e^x$ là

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$, trục hoành và đường thẳng $x=1$ (như hình vẽ bên dưới) được tính theo công thức nào?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-3z-5=0$. Xét tính đúng sai các khẳng định sau:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+2z-3=0$ và điểm $M(1;2;3)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Một cặp sinh đôi được gọi là "sinh đôi thật" nếu chúng do cùng một trứng sinh ra và trong trường hợp này bao giờ cũng cùng giới tính. Nếu cặp đó do các trứng khác nhau sinh ra thì xác suất để cặp sinh đôi có cùng giới tính là $\frac{1}{2}$. Giả sử xác suất để cặp sinh đôi do cùng một trứng sinh ra bằng $p$ (trên tổng số trẻ sinh đôi). Gọi $A_1$ là biến cố để cặp sinh đôi là sinh đôi thật, $A_2$ là biến cố để cặp sinh đôi là do hai trứng sinh ra và $H$ là biến cố để cặp sinh đôi có cùng giới tính. Khi đó:

Cho hàm số $f(x)=2x-3\cos x$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ thỏa mãn điều kiện $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=3$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-6=0$. Gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(P)$. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-x& \text{khi }x<0\\ \sin x& \text{khi }x\ge 0\end{array}$. Tính tích phân ${\int }_{-1}^{\pi }f(x)dx$. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Một xét nghiệm y tế để phát hiện một loại bệnh có độ chính xác như sau: Nếu một người mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $0,8$. Nếu một người không mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $0,4$. Biết rằng tỉ lệ người mắc bệnh trong cộng đồng là $0,5$. Nếu một người có kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất để người đó thực sự mắc bệnh là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x+x$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=1$ có dạng $S_{(H)}=e-\frac{a}{b}$ (với $e$ là cơ số của logarit Nê-pơ; $a,b$ là các số nguyên dương và phân số $\frac{a}{b}$ tối giản). Tính tổng $S=2026(a+b)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$, mặt phẳng $(P):x+3y-2z+2=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-4}{1}$. Đường thẳng $(\Delta )$ qua $A$, đồng thời cắt $(P)$ và $d$ lần lượt tại $B$ và $C(a;b;c)$ sao cho $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Giả sử tọa độ của điểm $C$ là $(a;b;c)$. Tính $S=a+b+c$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí $I(21;35;50)$ và ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km. Một flycam di chuyển theo một đường thẳng từ $I$ đến một đảo nhỏ tại $D(5121;658;0)$. Gọi điểm $M$ là vị trí cuối cùng trên đoạn $ID$ sao cho flycam còn nhận được ánh sáng từ ngọn hải đăng, tìm cao độ của điểm $M$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).