Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $(\Delta ):\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z}{2}$ và mặt phẳng $(P):mx-2y+(m-1)z-1=0$

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta )$ có vtcp $\vec{u}=(1;-2;2)$, mặt phẳng $(P)$ có vtpt $\vec{n}=(m;-2;m-1)$.

a) Với $m=-2$: $\vec{n}=(-2;-2;-3)$, không cùng phương với $\vec{u}=(1;-2;2)$ nên $\Delta$ không vuông góc $(P)$. Sai.

b) Với $m=1$: $\vec{n}=(1;-2;0)$, $\vec{u}\cdot \vec{n}=1+4+0=5\ne 0$ nên $\Delta$ không song song hoặc nằm trên $(P)$. Sai.

c) Với $m=-1$: $\vec{n}=(-1;-2;-2)$, $|\vec{n}|=3$, $|\vec{u}|=3$, $|\vec{u}\cdot \vec{n}|=|-1+4-4|=1$. $\sin \alpha =\frac{1}{9}\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{81}}=\frac{\sqrt{80}}{9}=\frac{4\sqrt{5}}{9}$. Đúng.

d) $\vec{u}\cdot \vec{n}=m+4+2(m-1)=3m+2$, nên $\sin 30^{\circ }=\frac{|3m+2|}{3\sqrt{m^2+4+(m-1{)}^2}}=\frac{|3m+2|}{3\sqrt{2m^2-2m+5}}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow 4(3m+2{)}^2=9(2m^2-2m+5)\Rightarrow 18m^2+66m-29=0$. Hai nghiệm phân biệt (vì $\Delta >0$) đều thỏa, tổng $m_1+m_2=-\frac{66}{18}=-\frac{11}{3}$, tức $a=-11,b=3$ (tối giản, $b>0$). Khi đó $a+b^2=-11+9=-2$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=-2$, $\vec{n}=(-2;-2;-3)$ không cùng phương với $\vec{u}=(1;-2;2)$ nên $\Delta$ không vuông góc $(P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=1$, $\vec{n}=(1;-2;0)$, $\vec{u}\cdot \vec{n}=5\ne 0$ nên $\Delta$ không song song hoặc nằm trên $(P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $m=-1$: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{1}{9}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{4\sqrt{5}}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\vec{u}\cdot \vec{n}=3m+2$, giải $\sin 30^{\circ }=\frac{|3m+2|}{3\sqrt{2m^2-2m+5}}$ được $18m^2+66m-29=0$, tổng hai nghiệm $=-\frac{11}{3}$, nên $a=-11,b=3$, $a+b^2=-11+9=-2$.