Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=2+2t\\ z=3+t\end{array}$ và mặt phẳng $(P):x-y+3=0$. Tính số đo góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;2;1)$, mặt phẳng $(P):x-y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;0)$.

Sin của góc giữa $d$ và $(P)$:
$$\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|(-1)(1)+(2)(-1)+(1)(0)|}{\sqrt{1+4+1}\cdot \sqrt{1+1+0}}=\frac{|-3|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Suy ra $\phi =60^{\circ }$. Vậy góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng $60^{\circ }$.