Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u}=(-1;1;1)$, điểm $A(2;-3;1)$. Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(m^2;-2m;6-3m)$. Để $d\parallel (P)$ cần $\vec{u}\cdot \vec{n}=0$: $-m^2-2m+6-3m=0\iff -m^2-5m+6=0\iff m^2+5m-6=0\iff m=1$ hoặc $m=-6$. Kiểm tra $d\not\subset (P)$: với $m=1$, thay $A(2;-3;1)$: $2+6+3-5=6\ne 0$; với $m=-6$: $72-36+24-5=55\ne 0$. Vậy cả hai giá trị đều thỏa, tổng $1+(-6)=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng (d) có pháp tuyến song song (cùng phương) với (d). Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $O$ và vuông góc với (d) phải có vectơ pháp tuyến cùng phương với vectơ chỉ phương của (d). Với pháp tuyến cố định $\vec{n}$ và đi qua điểm $O$ cố định, mặt phẳng là duy nhất: $(\alpha ):\vec{n}\cdot (\vec{x}-\vec{O})=0$. Vậy chỉ tồn tại đúng một mặt phẳng thỏa mãn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-2;1;2)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-3;-5)$. Góc $\phi$ giữa $d$ và $(P)$ thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-2-3-10|}{3\sqrt{35}}=\frac{15}{3\sqrt{35}}=\frac{5}{\sqrt{35}}\approx 0,8452$. Suy ra $\phi \approx 57,7^{\circ }$, gần nhất với $57^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có VTCP $\overrightarrow{a_d}=(1;2;-3)$, mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;-2;-2)$.

a) $\vec{a}=(-1;-2;3)=-\overrightarrow{a_d}$ cùng phương với VTCP của $d$ nên là một VTCP của $d$. Đúng.

b) Phương trình tham số của $d$: $x=2+t,y=-2+2t,z=1-3t$. Thay vào $(P)$: $(2+t)-2(-2+2t)-2(1-3t)-3=0\iff 1+3t=0\iff t=-\frac{1}{3}$. Giao điểm $H\left(\frac{5}{3};-\frac{8}{3};2\right)$. Đúng.

c) $\vec{u}=(10;1;4)$ có $\vec{u}\cdot \overrightarrow{a_d}=10+2-12=0$ nên $\vec{u}$ vuông góc với $d$, đồng thời $\vec{u}\cdot \vec{n}=10-2-8=0$ nên $\vec{u}$ nằm trong $(P)$. Vậy $\vec{u}$ là VTCP của $\Delta$ chứ không phải của $d$. Sai.

d) Đường thẳng $\frac{x-3}{10}=\frac{y}{1}=\frac{z}{4}$ đi qua điểm $(3;0;0)$ với VTCP $\vec{u}=(10;1;4)$. Kiểm tra: $(3;0;0)\in (P)$ vì $3-0-0-3=0$; $\vec{u}$ vuông góc với $d$ và nằm trong $(P)$ (theo c). Vậy đường thẳng này thỏa mãn điều kiện của $\Delta$ (đề không yêu cầu $\Delta$ đi qua $H$). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=(-1;-2;3)$ cùng phương với VTCP $(1;2;-3)$ của $d$ nên là một vecto chỉ phương của $d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay phương trình tham số của $d$ vào $(P)$ được $t=-\frac{1}{3}$, giao điểm $\left(\frac{5}{3};-\frac{8}{3};2\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(10;1;4)$ vuông góc với $d$ (tích có hướng với $\vec{n}$ và $\overrightarrow{a_d}$) nên là VTCP của $\Delta$, không phải của $d$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $(3;0;0)\in (P)$, VTCP $(10;1;4)$ nằm trong $(P)$ và vuông góc với $d$, nên thỏa mãn định nghĩa của $\Delta$ (đề bài không yêu cầu $\Delta$ đi qua giao điểm $H$).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của EF là $I\left(\frac{-6+2}{2};\frac{2-2}{2};\frac{5-1}{2}\right)=I(-2;0;2)$. Vì $d\perp (P)$ nên $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;7;-8)$, phương trình: $(-2+2t;7t;2-8t)$. Điểm $M(0;m;n)\in d$ nên $-2+2t=0\Rightarrow t=1$, suy ra $m=7$, $n=2-8=-6$. Vậy $OM=\sqrt{0^2+7^2+(-6{)}^2}=\sqrt{85}\approx 9,22$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 9,22.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của EF là $I\left(\frac{-6+2}{2};\frac{2-2}{2};\frac{5-1}{2}\right)=I(-2;0;2)$. Vì $d\perp (P)$ nên $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;7;-8)$, phương trình: $x=-2+2t,y=7t,z=2-8t$. M(0;m;n) thuộc d: $-2+2t=0\Rightarrow t=1$, suy ra $m=7$, $n=2-8=-6$. Vậy $OM=\sqrt{0^2+7^2+(-6{)}^2}=\sqrt{85}\approx 9,22$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-1)$ → Đúng.
c) Điểm $A$ thuộc $d$ có tọa độ dạng $A(t;-1-t;2+2t)$ → Đúng.
b) $\overrightarrow{AM}=(3-t;1-(-1-t);9-(2+2t))=(3-t;2+t;7-2t)$. Điều kiện $AM\parallel (\alpha )$: $\overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0\iff (3-t)+(2+t)-(7-2t)=0\iff 2t-2=0\iff t=1$. Khi đó $A(1;-2;4)$, $\overrightarrow{AM}=(2;3;5)$, $AM=\sqrt{4+9+25}=\sqrt{38}$ → Đúng.
d) Thay $M(3;1;9)$ vào $(\alpha )$: $3+1-9+3=-2\ne 0$ nên $M\notin (\alpha )$ → Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp bảng đáp án mã đề 1002 (ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(\alpha ):x+y-z+3=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;1;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A(t;-1-t;2+2t)$, $\overrightarrow{AM}=(3-t;2+t;7-2t)$. $AM\parallel (\alpha )\iff \overrightarrow{AM}\cdot \vec{n}=0\iff (3-t)+(2+t)-(7-2t)=0\iff t=1$. Khi đó $A(1;-2;4)$, $AM=\sqrt{2^2+3^2+5^2}=\sqrt{38}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo phương trình tham số của $d$, mọi điểm trên $d$ có tọa độ $A(t;-1-t;2+2t)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;1;9)$: $3+1-9+3=-2\ne 0$, nên $M$ không thuộc $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(3;2;-1) vào (P): 3+2-(-1)+3=9≠0 nên M không thuộc (P) → Sai. b) Từ phương trình tham số, vectơ chỉ phương của d là u=(1;-2;2) → Đúng. c) Phương trình chính tắc đúng là (x-3)/1=(y-2)/(-2)=(z+1)/2, mẫu số của z phải là 2 chứ không phải -2 → Sai. d) Δ⊥(P) nên vectơ chỉ phương của Δ là u=n_P=(1;1;-1). Góc giữa Δ và (Q) là 30° nên sin30°=|u·n_Q|/(|u||n_Q|) với n_Q=(1;m;0): |1+m|/(√3·√(1+m²))=1/2 ⟺ 4(1+m)²=3(1+m²) ⟺ m²+8m+1=0. Hai nghiệm có tổng bằng -8, đúng như khẳng định → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
3+2-(-1)+3=9≠0 nên M không thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của d, vectơ chỉ phương là u=(1;-2;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình chính tắc đúng là (x-3)/1=(y-2)/(-2)=(z+1)/2; ý c viết mẫu số của z là -2 là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
u=(1;1;-1), sin30°=|1+m|/(√3√(1+m²)) ⟹ m²+8m+1=0, tổng hai nghiệm bằng -8.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-4;10;-8)$ cùng phương với $(2;-5;4)$ → đúng. b) Thay $A(1;-2;7)$ vào (P): $1-2(-2)+3(7)-1=25\ne 0$ nên A không thuộc (P) → sai. c) $\sin \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n}||\vec{u}|}=\frac{24}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{45}}\approx 0,956$ → góc giữa AB và VTPT của (P) $\approx 73°$; góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là $90°-73°\approx 17°\ne 16°$ → sai. d) Δ qua A, VTCP $(1;-2;3)$ là VTPT của (P) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-4;10;-8)=-2(2;-5;4)$, nên $(2;-5;4)$ là một VTCP của đường thẳng AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A vào (P): $1-2(-2)+3(7)-1=25\ne 0$, nên A không thuộc (P); đường thẳng AB không cắt (P) tại A.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(2;-5;4)$, $\vec{n}=(1;-2;3)$. $\sin \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n}||\vec{u}|}=\frac{24}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{45}}\approx 0,956$, nên góc giữa AB và VTPT của (P) là $\approx 73°$. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) là $90°-73°\approx 17°$ (làm tròn đến độ), khác 16° → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ đi qua $A(1;-2;7)$ và có VTCP là VTPT của (P): $(1;-2;3)$, nên phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-7}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bức tường chứa hai điểm A(10;0;0), B(0;10;0) và vuông góc với mặt đất nên phương trình tường là mặt phẳng x + y = 10. Ống dẫn dầu là đường thẳng MN với N(1;2;0), M(7;8;12): phương trình tham số x = 1 + 6t, y = 2 + 6t, z = 12t. Thay vào x + y = 10: 3 + 12t = 10 ⟹ t = 7/12... kiểm tra lại: (1+6t)+(2+6t) = 3 + 12t = 10 ⟹ t = 7/12. Khi đó I = (1 + 6·7/12; 2 + 6·7/12; 12·7/12) = (4,5; 5,5; 7). Vậy a + b + c = 4,5 + 5,5 + 7 = 17.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;\sqrt{2})$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;\sqrt{2})$. Vì $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$ nên $d\perp (P)$, góc giữa $d$ và $(P)$ bằng $90^{\circ }$. Kiểm tra bằng công thức: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{1+1+2}{2\cdot 2}=1\Rightarrow \alpha =90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(3;2;0)$ (hệ số của $t$; $z=-5$ không đổi nên thành phần $z$ bằng 0), không phải $(3;2;-5)$.
b) Đúng. Mặt phẳng $(P):2x+3y+z-6=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;1)$.
c) Đúng. Góc giữa $(P)$ và trục $Ox$: $\sin \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{i}|}{|\vec{n}|}=\frac{2}{\sqrt{14}}\approx 0,5345$, nên $\phi \approx 32,3^{\circ }$.
d) Sai. Thay phương trình của $d$ vào $(P)$: $2(1+3t)+3(3+2t)+(-5)-6=0\iff 12t=0\iff t=0$. Khi đó giao điểm có hoành độ $x=1+3\cdot 0=1\ne -1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(3;2;0)$, không phải $(3;2;-5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(P):2x+3y+z-6=0$ có $\vec{n}=(2;3;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \phi =\frac{2}{\sqrt{14}}\approx 0,5345\Rightarrow \phi \approx 32,3^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay vào $(P)$ được $12t=0\Rightarrow t=0\Rightarrow x=1$, không phải $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u}=(a_1;a_2;a_3)$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(A;B;C)$ thỏa $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|A{a}_1+B{a}_2+C{a}_3|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$ có vectơ chỉ phương trùng với vectơ pháp tuyến của $(P)$, tức là $\vec{u}=(2;-1;1)$. Đường thẳng đi qua $M(1;2;3)$ nên có phương trình tham số: $x=1+2t,y=2-t,z=3+t$. So với các phương án, đây chính là đáp án A (khớp bảng đáp án mã đề 1204, câu 5 = A).

(AI giải đề cho tôi)
d có VTCP $\vec{u}=(1;2;1)$, $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(1;1;-3)$. a) $\vec{u}\cdot \vec{n}=1+2-3=0$ và điểm $(1;-2;0)\in d$ thay vào $(P)$: $1-2-0-5=-6\ne 0$ nên điểm không thuộc $(P)$, suy ra $d\parallel (P)$: Đúng. b) $d(O,(P))=\frac{|-5|}{\sqrt{1+1+9}}=\frac{5}{\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{11}}{11}$: Đúng. c) $d^{\prime }$ song song với $d$ phải có VTCP $(1;2;1)$, nhưng phương trình đã cho có VTCP $(1;2;-1)$: Sai. d) Giao điểm của $d$ với $(Oxy)$: $z=0\Rightarrow t=0\Rightarrow (1;-2;0)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+0}=\sqrt{5}\ne 5$: Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}\cdot \vec{n}=1+2-3=0$ và điểm $(1;-2;0)\in d$ không thuộc $(P)$ nên $d\parallel (P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(O,(P))=\frac{5}{\sqrt{11}}=\frac{5\sqrt{11}}{11}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTCP phải là $(1;2;1)$, không phải $(1;2;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là $(1;-2;0)$, $R=\sqrt{5}\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ là trung điểm $AB$ nên $B=2C-A$. Điểm $C$ thuộc $d$: $C=(1+2t;-1-t;4+t)$. Suy ra $B=(1+4t;-4-2t;9+2t)$. Vì $B\in (P)$: $x+3y-2z+2=0$ nên $1+4t+3(-4-2t)-2(9+2t)+2=0\Rightarrow -27-6t=0\Rightarrow t=-\frac{9}{2}$. Khi đó $C=\left(-8;\frac{7}{2};-\frac{1}{2}\right)$, tức $a=-8,b=\frac{7}{2},c=-\frac{1}{2}$. Vậy $S=a+b+c=-8+\frac{7}{2}-\frac{1}{2}=-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa đường thẳng $d$: $x=1+2t,y=-3-t,z=2t$. Thay vào mặt phẳng $(\alpha )$: $(1+2t)+2(-3-t)-(2t)-2=0\Rightarrow 1+2t-6-2t-2t-2=0\Rightarrow -7-2t=0\Rightarrow t=-\frac{7}{2}$. Suy ra $M(-6;\frac{1}{2};-7)$. Khi đó $a-2b+c=-6-2\cdot \frac{1}{2}+(-7)=-6-1-7=-14$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường ống là $\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)$, nên $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ngang $(Oxy)$ (có vecto pháp tuyến $\vec{k}=(0;0;1)$) thỏa $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{k}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $\alpha =45^{\circ }$. Vậy đường ống nghiêng $45$ độ so với mặt phẳng ngang.