Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa đường thẳng $d$: $x=1+2t,y=-3-t,z=2t$. Thay vào $(\alpha )$: $(1+2t)+2(-3-t)-(2t)-2=0\Rightarrow -7-2t=0\Rightarrow t=-\frac{7}{2}$. Suy ra $M(-6;\frac{1}{2};-7)$, tức $a=-6,b=\frac{1}{2},c=-7$. Khi đó $a-2b+c=-6-1-7=-14$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay B(0;1;-6) vào (P): 4·0 - 1 + 2·(-6) + 13 = 0, nên B thuộc (P): đúng.
b) $\overrightarrow{AB}$ = (-1;-1;-9) cùng hướng với $\vec{v}$ = (-2;-2;-18). |AB| = √83 ≈ 9,11 km. Quãng đường đi được trong 1 phút với vận tốc 800 m/s = 0,8 km/s là 48 km ≠ 9,11 km (thời gian thực tế ≈ 11,4 s). Sai.
c) sin góc giữa AB và (P) = |$\overrightarrow{AB}$·$\vec{n}$|/(|AB||n|) = |-4+1-18|/(√83·√21) = 21/√1743 = √(21/83) ≈ 0,503 → góc ≈ 30°, không phải 60°. Sai.
d) Hình chiếu vuông góc của A(1;2;3) trên (Oxy) là H(1;2;0), không phải (0;2;3). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
4·0 - 1 + 2·(-6) + 13 = 0 nên B thuộc (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
|AB| = √83 ≈ 9,11 km; trong 60 s viên đạn đi 0,8·60 = 48 km ≠ 9,11 km (thời gian đến B chỉ ≈ 11,4 s).
c) (AI giải đề cho tôi)
sinθ = 21/(√83·√21) = √(21/83) ≈ 0,503 → θ ≈ 30°, không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A(1;2;3) trên (Oxy) là H(1;2;0).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường ống là $\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)$. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(Oxy)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(0;0;1)$: $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot 1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $\alpha =45^{\circ }$. Vậy đường ống nghiêng $45$ độ so với mặt phẳng ngang.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}=(4-3;4-2;-2+4)=(1;2;2)$, với $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+4+4}=3$. Vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(2;2;-1)$, với $|\vec{n}|=\sqrt{4+4+1}=3$. Góc $\phi$ giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(P)$ thỏa: $\sin \phi =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{n}|}=\frac{|2+4-2|}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}$. Suy ra $\phi =\arcsin \frac{4}{9}\approx 26,39^{\circ }\approx 26^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng OA có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{OA}}=(0;1;0)$. Mặt phẳng $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;1;0)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{1}{1}=1$, suy ra $\alpha =90^{\circ }$. Thật vậy, OA chính là trục Oy nên vuông góc với mặt phẳng (Oxz). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập hệ trục như hình vẽ: $O$ là tâm đáy, $C$ trên trục $Ox$, $B$ trên trục $Oy$, $S$ trên trục $Oz$. Vì cạnh đáy $a\sqrt{2}$ nên nửa đường chéo đáy bằng $a$, do đó $A(-a;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(a;0;0)$, $D(0;-a;0)$, $S(0;0;2a)$. Trung điểm $M$ của $SB$: $M\left(0;\frac{a}{2};a\right)$.

Véc-tơ $\overrightarrow{DM}=\left(0;\frac{3a}{2};a\right)$, $|\overrightarrow{DM}|=\frac{a\sqrt{13}}{2}$.

Mặt phẳng $(SBC)$ chứa $\overrightarrow{SB}=(0;a;-2a)$ và $\overrightarrow{SC}=(a;0;-2a)$, nên véc-tơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(-2a^2;-2a^2;-a^2)\parallel (2;2;1)$, $|\vec{n}|=3$.

Góc $\theta$ giữa $DM$ và $(SBC)$: $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{DM}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{DM}||\vec{n}|}=\frac{|0+3a+a|}{\frac{a\sqrt{13}}{2}\cdot 3}=\frac{8}{3\sqrt{13}}=\frac{8\sqrt{13}}{39}$.

Suy ra $\cos \theta =\sqrt{1-\frac{64\cdot 13}{1521}}=\sqrt{\frac{1521-832}{1521}}=\frac{\sqrt{689}}{39}$.

Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(4;3;1)$ và điểm $M(12;9;1)$. Mặt phẳng $(P):3x+5y-z-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;5;-1)$. Kiểm tra: $\vec{u}\cdot \vec{n}=4\cdot 3+3\cdot 5+1\cdot (-1)=12+15-1=26\ne 0$ nên $d$ không song song và không vuông góc với $(P)$. Thay điểm $M$ vào $(P)$: $3\cdot 12+5\cdot 9-1-2=36+45-3=78\ne 0$ nên $M\notin (P)$, do đó $d$ không nằm trong $(P)$. Vậy $d$ cắt $(P)$ tại một điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;3)$, mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;-2)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|2\cdot 1+(-1)(-1)+3\cdot (-2)|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{6}}=\frac{|2+1-6|}{\sqrt{84}}=\frac{3}{\sqrt{84}}\approx 0,3273$. Suy ra $\phi \approx \arcsin (0,3273)\approx 19,1^{\circ }\approx 19^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa đường thẳng $\Delta$ (VTCP $\vec{u}=(a;b;c)$) và mặt phẳng $(P)$ (VTPT $\vec{n}=(A;B;C)$) thỏa mãn $\sin (\Delta ,(P))=\left|\cos (\vec{u},\vec{n})\right|=\frac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. Do đó $\cos (\Delta ,(P))=\frac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ (vì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nằm trong $[0^{\circ };90^{\circ }]$ nên sin và cos đều dương, biểu thức trên đúng cho cả sin lẫn cos). Các phương án A, C sai vì thiếu giá trị tuyệt đối. Khẳng định đúng là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm trên ba trục nên có dạng x/(8/3)+y/2+z/(8/5)=1, tức 3x/8 + y/2 + 5z/8 = 1, suy ra (ABC): 3x+4y+5z-8=0 với vectơ pháp tuyến n=(3;4;5). Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương u=(-3;-4;-5) = -n, tức u song song với n. Do đó Δ vuông góc với (ABC), góc giữa Δ và (ABC) bằng 90°. Kiểm tra: sin góc = |u·n|/(|u||n|) = |−9−16−25|/(√50·√50) = 50/50 = 1, nên góc = 90°.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: $d$ có VTCP $\overrightarrow{u_d}=(2;1;3)$, đi qua điểm $(-1;0;-2)$. a) Sai: $(-1;0;-2)$ là tọa độ điểm thuộc $d$, không phải VTCP. b) Thay $x=-1+2t,y=t,z=-2+3t$ vào $(P)$: $-1+2t+2t-2+3t-4=0\iff 7t=7\iff t=1$, nên $d$ cắt $(P)$ tại một điểm → Đúng. c) Với $t=1$: $H=(1;1;1)\ne (1;-1;1)$ → Sai. d) $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(5;-1;-3)$: $\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot \overrightarrow{u_d}=10-1-9=0$ nên vuông góc với $d$; $\overrightarrow{u_{\Delta }}\cdot (1;2;1)=5-2-3=0$ nên $\Delta \parallel (P)$; điểm $(1;1;1)$ thuộc $d$ và thỏa $1+2+1-4=0$ nên $\Delta \subset (P)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d$ là $(2;1;3)$; $(-1;0;-2)$ là điểm thuộc $d$, không phải vecto chỉ phương.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay phương trình tham số vào $(P)$ được $7t-7=0\Rightarrow t=1$, nên $d$ cắt $(P)$ tại một điểm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=1$ ta được $H=(1;1;1)$, không phải $(1;-1;1)$. Kiểm tra: $1+2+1-4=0$ đúng cho $(1;1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_{\Delta }}=(5;-1;-3)$ vuông góc với $\overrightarrow{u_d}=(2;1;3)$ vì tích vô hướng bằng 0; song song với $(P)$ vì vuông góc với VTPT $(1;2;1)$; đi qua $H(1;1;1)\in (P)$ nên $\Delta \subset (P)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1;2)$.
a) Đúng: $\overrightarrow{u}=(1;1;2)$ là một vecto chỉ phương của $d$.
b) Sai: Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;0;2)$ và vuông góc với $d$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}=(1;1;2)$, phương trình: $1(x-1)+1(y-0)+2(z-2)=0\iff x+y+2z-5=0$, không phải $x+y+2z-1=0$.
c) Sai: Điểm trên $d$ có dạng $(1+t;t;-1+2t)$. Ta có $\overrightarrow{AH}=(t;t;-3+2t)$. Điều kiện $\overrightarrow{AH}\perp d$: $t+t+2(-3+2t)=6t-6=0\Rightarrow t=1$. Vậy $H(2;1;1)\ne (1;0;-1)$.
d) Đúng: $\Delta$ đi qua $A$, vuông góc và cắt $d$ tại $H$ nên vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{AH}=(1;1;-1)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{u}=1+1-2=0$ (vuông góc với $d$). Phương trình $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$ đúng như đề.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chính tắc của $d$, vecto chỉ phương là $\overrightarrow{u}=(1;1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(P)$ qua $A(1;0;2)$ với $\overrightarrow{n}=(1;1;2)$: $x+y+2z-5=0$, không phải $x+y+2z-1=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm trên $d$: $(1+t;t;-1+2t)$, điều kiện $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{u}=6t-6=0\Rightarrow t=1$, suy ra $H(2;1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ qua $A$ và cắt $d$ vuông góc tại $H(2;1;1)$ nên có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AH}=(1;1;-1)$, cho phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: O=D₁(0;0;0), C₁(1;0;0), A₁(0;1;0), D(0;0;x). Hộp là hình hộp chữ nhật đáy A₁B₁C₁D₁ trong mặt phẳng z=0 với B₁(1;1;0), mặt trên ABCD trong mặt phẳng z=x với B(1;1;x), C(1;0;x).

a) Mặt phẳng (A₁B₁C₁D₁) là z=0, vectơ pháp tuyến là (0;0;1). Vectơ (1;0;−1) không vuông góc với các vectơ nằm trong mặt phẳng (ví dụ C₁A₁=(−1;1;0) có tích vô hướng 1·(−1)+0+0=−1≠0). → Sai.

b) Với x=3: B₁D=(−1;−1;3), sinθ = |3|/√(1+1+9)=3/√11≈0,9045 nên θ≈64,8°≠60°. → Sai.

c) Mặt (CB₁D₁): CB₁=(0;1;−x), CD₁=(−1;0;−x), pháp tuyến n=(−x;x;1). Góc với (A₁B₁C₁D₁) (pháp tuyến (0;0;1)): cosφ = 1/√(2x²+1). Với x=√2/2: 2x²=1 nên cosφ=1/√2, φ=45°. → Đúng.

d) sinθ = x/√(x²+2) là hàm đồng biến theo x>0, nên góc không đạt giá trị lớn nhất tại x=4 (góc tiệm cận 90° khi x→∞). → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(A₁B₁C₁D₁) là mặt phẳng z=0 với pháp tuyến (0;0;1); (1;0;−1) không vuông góc với vectơ C₁A₁=(−1;1;0) nên không phải pháp tuyến.
b) (AI giải đề cho tôi)
x=3: B₁D=(−1;−1;3), sinθ=3/√11≈0,9045, θ≈64,8°≠60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (CB₁D₁) là (−x;x;1); cosφ=1/√(2x²+1)=1/√2 khi x=√2/2 nên φ=45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
sinθ=x/√(x²+2) đồng biến, góc không đạt max tại x=4; chỉ tiệm cận 90° khi x→∞.

(AI giải đề cho tôi)
Đường bay $AB$ có $\overrightarrow{AB}=(0;7,5;-0,4)$, phương trình tham số: $(3,5;-2+7,5t;0,4-0,4t)$, $t\in [0;1]$.

a) $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{7,5^2+0,4^2}=\sqrt{56,41}\approx 7,5107$. $\sin \theta =\frac{0,4}{7,5107}\approx 0,05326\Rightarrow \theta \approx 3,05^{\circ }$, nằm trong $[2,5^{\circ };3,5^{\circ }]$. → Đúng.

b) Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M(5;0;0)$, $N(0;-5;0)$, $P(0;0;0,5)$: $\frac{x}{5}+\frac{y}{-5}+\frac{z}{0,5}=1\iff x-y+10z=5$. Thay phương trình đường bay: $3,5-(-2+7,5t)+10(0,4-0,4t)=9,5-11,5t=5\Rightarrow t=\frac{9}{23}$. Khi đó $C=\left(3,5;-2+7,5\cdot \frac{9}{23};0,4-0,4\cdot \frac{9}{23}\right)\approx (3,5;0,93;0,24)$, khác $C(3,5;-6,5;-0,5)$ (điểm này còn có $z<0$, dưới mặt đất). → Sai.

c) Độ cao $120m=0,12$ km: $0,4-0,4t=0,12\Rightarrow t=0,7\Rightarrow y=-2+7,5\cdot 0,7=3,25$. Vậy $D(3,5;3,25;0,12)$. → Đúng.

d) Tại độ cao $120$m (điểm $D$, $t=0,7$), khoảng cách tới $E(3,5;4,5;0)$: $DE=\sqrt{(3,25-4,5{)}^2+(0,12{)}^2}=\sqrt{1,5625+0,0144}\approx 1,256$ km $=1256$ m $>900$ m. Xét điều kiện $DE\le 0,9$: $(7,5t-6,5{)}^2+(0,4-0,4t{)}^2\le 0,81\Rightarrow 56,41t^2-97,82t+41,6\le 0\Rightarrow t\in [0,748;0,988]$, khi đó độ cao $z=0,4(1-t)\le 0,4(1-0,748)\approx 0,101$ km $\approx 101$ m $<120$ m. Vậy trong tầm nhìn $900$m thì độ cao chưa đạt $120$m, còn ở độ cao $\ge 120$m thì $E$ cách xa hơn $900$m — phi công chưa đạt quy định an toàn bay. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin \theta =\frac{0,4}{\sqrt{56,41}}\approx 0,0533\Rightarrow \theta \approx 3,05^{\circ }\in [2,5^{\circ };3,5^{\circ }]$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$(\alpha ):x-y+10z=5$; giao với $AB$ tại $t=\frac{9}{23}$ cho $C\approx (3,5;0,93;0,24)$, không phải $(3,5;-6,5;-0,5)$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$z=0,12\Rightarrow t=0,7\Rightarrow y=3,25$, được $D(3,5;3,25;0,12)$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tại độ cao $120$m, $DE\approx 1256$ m $>900$ m; còn khi $DE\le 900$ m thì độ cao chỉ khoảng $\le 101$ m $<120$ m, nên phi công chưa đạt quy định an toàn bay. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\Delta$ song song với $(P):2x-y+2z-1=0$ nên $\vec{u}=(m;n;1)$ thỏa $\vec{u}\cdot \overrightarrow{n_P}=0$ với $\overrightarrow{n_P}=(2;-1;2)$: $2m-n+2=0\Rightarrow n=2m+2$. Suy ra $\vec{u}=(m;2m+2;1)$. Vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=(4;-4;3)$. Sin của góc giữa $\Delta$ và $(Q)$: $\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{n_Q}|}{|\vec{u}|\cdot |\overrightarrow{n_Q}|}=\frac{|4m-4(2m+2)+3|}{\sqrt{5m^2+8m+5}\cdot \sqrt{41}}=\frac{|-4m-5|}{\sqrt{5m^2+8m+5}\cdot \sqrt{41}}$. Cần tối đa hóa $f(m)=\frac{(4m+5{)}^2}{5m^2+8m+5}$. Ta có $f^{\prime }(m)=\frac{(4m+5)\cdot 8(5m^2+8m+5)-(4m+5{)}^2(10m+8)}{(5m^2+8m+5{)}^2}=\frac{(4m+5)(-18m)}{(5m^2+8m+5{)}^2}$. Với $m=-\frac{5}{4}$ thì $f=0$ (giá trị nhỏ nhất, $\sin \theta =0$). Xét $-\frac{5}{4}<m<0$: $f^{\prime }(m)>0$; với $m>0$: $f^{\prime }(m)<0$, nên $f$ đạt giá trị lớn nhất tại $m=0$: $f(0)=\frac{25}{5}=5$. Với $m<-\frac{5}{4}$, $f(m)\to 5$ khi $m\to -\infty$ nhưng không vượt quá 5. Vậy $\sin {\theta }_{\max }=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{41}}=\frac{\sqrt{205}}{41}\approx 0,349$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(3;4;5)$, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(6;8;10)$. Vì $\vec{n}=2\vec{u}$ nên $\vec{u}\parallel \vec{n}$, tức đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Cụ thể: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|18+32+50|}{\sqrt{50}\cdot \sqrt{200}}=\frac{100}{100}=1$, suy ra $\alpha =90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;2)$ và mặt phẳng $(P)$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;-2;-1)$. Ta có $\vec{u}\cdot \vec{n}=2\cdot 2+1\cdot (-2)+2\cdot (-1)=4-2-2=0$, nên $\Delta \parallel (P)$. Lấy điểm $M(1;-2;1)\in \Delta$, thay vào $(P)$: $2(1)-2(-2)-1+1=2+4-1+1=6\ne 0$. Khoảng cách $d=\frac{|6|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{6}{3}=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;2;1)$, mặt phẳng $(P):x-y+3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;0)$. Góc giữa $d$ và $(P)$ thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-1-2+0|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\phi =60^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-1;3)$, mặt phẳng $(P):x-y-2z+4=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;-2)$. Góc φ giữa Δ và (P) thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|2+1-6|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}\approx 0,3273$. Suy ra $\phi \approx 19,1^{\circ }\approx 19^{\circ }$. Vậy đáp án D.