Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(-1;2;1)$, mặt phẳng $(P):x-y+3=0$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;0)$. Góc giữa $d$ và $(P)$ thỏa $\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-1-2+0|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\theta =60^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường nhìn từ mắt $A(1;2;3)$ đến bông hoa $M(-2;1;1)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AM}=(-3;-1;-2)$. Phương trình tham số: $x=1-3t,y=2-t,z=3-2t$. Giao với mặt phẳng $(Oyz)$ (tức $x=0$): $1-3t=0\Rightarrow t=\frac{1}{3}$, suy ra giao điểm $P\left(0;\frac{5}{3};\frac{7}{3}\right)$. Kiểm tra $P$ có nằm trong khung cửa tròn tâm $O$ bán kính 2 không: $O{P}^2={\left(\frac{5}{3}\right)}^2+{\left(\frac{7}{3}\right)}^2=\frac{25+49}{9}=\frac{74}{9}\approx 8,22>4=2^2$. Vậy $P$ nằm ngoài khung tròn, tức đường nhìn bị chặn bởi tường (chỉ phần trong hình tròn là cửa sổ). Kết luận: người đó KHÔNG nhìn thấy bông hoa $M$ qua khung cửa sổ.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Thay M(1;-3;4) vào d: x=t=1 ⇒ y=-t=-1≠-3, nên M không thuộc d. b) Sai. Δ vuông góc (P) nên có VTCP u=(1;2;-2) và qua M(1;-3;4): x=1+t, y=-3+2t, z=4-2t, khác phương trình đã cho. c) Sai. u_d=(1;-1;2), n_P=(1;2;-2), u_d·n_P=1-2-4=-5≠0 nên d không song song (P) (cũng không vuông góc). d) Sai. sinα=|u_d·n_P|/(|u_d||n_P|)=5/(√6·3)=5/(3√6)≈0,6804 ⇒ α≈42°51'≠7°49'.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với t=1 trên d ta có điểm (1;-1;3)≠M, nên M không thuộc d: đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ phải có VTCP trùng pháp tuyến (1;2;-2) của (P) và đi qua M(1;-3;4): x=1+t, y=-3+2t, z=4-2t. Phương trình trong đề sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
u_d·n_P=1·1+(-1)·2+2·(-2)=-5≠0 nên d không song song với (P).
d) (AI giải đề cho tôi)
sinα=5/(3√6)≈0,6804 ⇒ α≈42°51', không bằng 7°49'.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4, mã đề 1122 (đáp án chính thức ĐSĐS).
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u=(2;-1;1) → Đúng.
b) Thay A(1;-1;-2) vào d: (x-1)/2=0, (y+1)/(-1)=0, nhưng (z-2)/1=(-2-2)/1=-4≠0 → A không thuộc d → Sai.
c) sinθ = |u·n|/(|u||n|) với n=(-1;2;1): |(-2)+(-2)+1|/(√6·√6)=3/6=1/2 → θ=30° → Đúng.
d) Điểm N trên d: N(1+2t; -1-t; 2+t). Vectơ MN=(4+2t; -2-t; t). Δ song song (P) nên MN·n=0: -(4+2t)+2(-2-t)+t = -8-3t=0 → t=-8/3. Khi đó N=(-13/3; 5/3; -2/3), a+b+c = -10/3 ≠ 3 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của d đọc trực tiếp từ phương trình tham số là u=(2;-1;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;-1;-2): (x-1)/2=0, (y+1)/(-1)=0 nhưng (z-2)/1=-4, không thỏa mãn nên A không thuộc d.
c) (AI giải đề cho tôi)
sinθ = |u·n|/(|u||n|) = |(-1)(2)+2(-1)+1(1)|/(√6·√6) = 3/6 = 1/2, suy ra θ=30°.
d) (AI giải đề cho tôi)
N(1+2t;-1-t;2+t), MN=(4+2t;-2-t;t). Điều kiện MN·n=0: -8-3t=0 → t=-8/3, N=(-13/3;5/3;-2/3), a+b+c=-10/3≠3.

(AI giải đề cho tôi)
a) u=(2;-1;1), n=(-1;2;1). sin góc = |u·n|/(|u||n|) = |-2-2+1|/(√6·√6) = 3/6 = 1/2 nên góc = 30°. Đúng. b) Thay A(1;-1;-2) vào d: x-1/2=0, y+1/-1=0 nhưng (z-2)/1 = -4 ≠ 0, nên A không thuộc d. Sai. c) N trên d: N(1+2t; -1-t; 2+t). Vì Δ song song (P) nên MN·n = 0 với n=(-1;2;1): -(4+2t)+2(-2-t)+t = -8-3t = 0 → t = -8/3. Khi đó N = (-13/3; 5/3; -2/3), a+b+c = -10/3 ≠ 3. Sai. d) Vec tơ chỉ phương của d là u=(2;-1;1). Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
sinθ = |u·n|/(|u||n|) = |-2-2+1|/(√6·√6) = 1/2 nên θ = 30°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A vào phương trình d: (z-2)/1 = -4 ≠ 0 nên A không thuộc d.
c) (AI giải đề cho tôi)
N(1+2t;-1-t;2+t), điều kiện MN·n=0 cho t=-8/3, N=(-13/3;5/3;-2/3), a+b+c = -10/3 ≠ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của d, vec tơ chỉ phương là u=(2;-1;1).

(AI giải đề cho tôi)
Nóc nhà là giao tuyến của hai mái: $(P):x-y=0$ và $(Q):x+y-2z=0$. Từ $x=y$ và $x+y=2z$ suy ra $z=x$, nên giao tuyến là đường thẳng $d:(t,t,t)$ với vectơ chỉ phương $(1,1,1)$. Thay điểm $(t,t,t)$ vào mặt phẳng sàn $(\alpha ):2x+y-3z+18=0$ ta được $2t+t-3t+18=18$, không phụ thuộc $t$, tức $d$ song song với $(\alpha )$. Chiều cao từ sàn đến nóc là khoảng cách từ $d$ đến $(\alpha )$: $h=\frac{|18|}{\sqrt{2^2+1^2+(-3{)}^2}}=\frac{18}{\sqrt{14}}\approx 4,81$ m. Làm tròn đến hàng phần chục: $4,8$ m, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 405, Câu 4 = 4,8).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(-1;-2;2)$ với $|\vec{u}|=3$, vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(2;-1;2)$ với $|\vec{n}|=3$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|2(-1)+(-1)(-2)+2\cdot 2|}{9}=\frac{|-2+2+4|}{9}=\frac{4}{9}$. Do đó $\cos \phi =\sqrt{1-{\sin }^2\phi }=\sqrt{1-\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{65}}{9}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-1;-2;2)$ với $|\vec{u}|=\sqrt{1+4+4}=3$. Mặt phẳng $(P):2x-y+2z+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;2)$ với $|\vec{n}|=\sqrt{4+1+4}=3$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-2+2+4|}{3\cdot 3}=\frac{4}{9}$. Do đó $\cos \phi =\sqrt{1-\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{65}}{9}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 1210, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng (P): x-2y+5z+9=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;-2;5), nên ý a) Đúng. b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u=(-2;4;2), vectơ (1;-2;2) không cùng phương với u (tỉ số -2/1 = -2, 4/(-2) = -2, 2/2 = 1 không bằng nhau), nên ý b) Sai. c) d⊥(P) khi u cùng phương với n=(1;-2;5); u=(-2;4;2) không cùng phương với n, nên ý c) Sai. d) Trên (Oxz) có y=0: từ (y+2)/4=t=0/4=-1/2 suy ra x=1+(-2)(-1/2)=2, z=2+2(-1/2)=1, giao điểm là (2;0;1) ≠ (0;0;2), nên ý d) Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ S S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(P): x-2y+5z+9=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;-2;5).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của d là u=(-2;4;2); (1;-2;2) không cùng phương với u.
c) (AI giải đề cho tôi)
d⊥(P) yêu cầu u=(-2;4;2) cùng phương với n=(1;-2;5), điều này không đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với y=0 trên d: t=-1/2, x=2, z=1, giao điểm là (2;0;1), không phải (0;0;2).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: vectơ pháp tuyến của $(P):x-2y-z+9=0$ là $\vec{n}=(1;-2;-1)$, không phải $(1;-2;9)$. b) Đúng: từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-2;4;2)$. c) Đúng: $\vec{u}=(-2;4;2)=-2\cdot (1;-2;-1)=-2\vec{n}$, nên $\vec{u}$ cùng phương với $\vec{n}$, suy ra $d\perp (P)$. d) Đúng: phương trình tham số $d:x=1-2t,y=-2+4t,z=2+2t$. Giao với $(Oxy)$: $z=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow x=3,y=-6$, tức $M(3;-6;0)$. Kết quả khớp đáp án nguồn: S Đ Đ Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của $(P):x-2y-z+9=0$ là $\vec{n}=(1;-2;-1)$, không phải $(1;-2;9)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chính tắc của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(-2;4;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=(-2;4;2)=-2(1;-2;-1)=-2\vec{n}$, nên $\vec{u}$ cùng phương pháp tuyến của $(P)$, suy ra $d\perp (P)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số: $x=1-2t,y=-2+4t,z=2+2t$. Với $z=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow x=3,y=-6$, giao điểm là $M(3;-6;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa đường thẳng $(d)$: $x=1+2t$, $y=-1+t$, $z=2t$. Thay vào $(P)$: $(1+2t)-(-1+t)+2(2t)+3=0\Rightarrow 5+5t=0\Rightarrow t=-1$. Vậy $M(-1;-2;-2)$, $S=a+b+c=-1-2-2=-5$. Khớp với đáp án nguồn B.

Ptts của $(d):\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=3-2t\end{array}$. Gọi $I(2+2t;-t;3-2t)$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Ta có phương trình: $2(2+2t)-3+2t+5=0\iff t=-1\Rightarrow I(0;1;5)$. VTPT của mp ${\vec{n}}_{(P)}=(2;0;-1)$ và VTCP của đường thẳng ${\vec{u}}_d=(2;-1;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ cần tìm có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }$ vuông góc với ${\vec{n}}_{(P)}$ và ${\vec{u}}_d$ nên chọn: ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_{(P)},{\vec{u}}_d]=(-1;2;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ qua $I$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }$ có phương trình tham số: $$\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+2t\\ z=5-2t\end{array},(t\in \mathbb{R}).$$ LƯU Ý: Nếu học sinh làm cách khác và đúng yêu cầu thì cho điểm tối đa ý, câu đó.

a) Đúng. b) Sai. c) Ta có ${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{2}$. Suy ra c) ĐÚNG. d) Ta có $(d)$ qua $M(-1;2;-1)$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(2;-1;2)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Ta có $(Q)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(Q)}=[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_{(P)}]=(2;-2;-3)$ và $(Q)$ qua $M(-1;2;-1)$ (do $(Q)$ chứa $(d)$). Phương trình $(Q)$: $2(x+1)-2(y-2)-3(z+1)=0\iff 2x-2y-3z+3=0$. Ta có $d(I,(Q))=\frac{|2+9+3|}{\sqrt{4+4+9}}=\frac{14\sqrt{17}}{17}$. Suy ra d) Sai.
a) a) Đúng.
b) b) Sai.
c) c) Ta có ${\vec{u}}_{\Delta }={\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+3}{2}$. Suy ra c) ĐÚNG.
d) d) Ta có $(d)$ qua $M(-1;2;-1)$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(2;-1;2)$. Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-2;2)$. Ta có $(Q)$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{(Q)}=[{\vec{u}}_d,{\vec{n}}_{(P)}]=(2;-2;-3)$ và $(Q)$ qua $M(-1;2;-1)$ (do $(Q)$ chứa $(d)$). Phương trình $(Q)$: $2(x+1)-2(y-2)-3(z+1)=0\iff 2x-2y-3z+3=0$. Ta có $d(I,(Q))=\frac{|2+9+3|}{\sqrt{4+4+9}}=\frac{14\sqrt{17}}{17}$. Suy ra d) Sai.

Ptts của $(d):\{\begin{array}{l}x=2+2t\\ y=-t\\ z=3-2t\end{array}$. Gọi $I(2+2t;-t;3-2t)$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Ta có phương trình: $2(2+2t)-3+2t+5=0\iff t=-1\Rightarrow I(0;1;5)$. VTPT của mp ${\vec{n}}_{(P)}=(2;0;-1)$ và VTCP của đường thẳng ${\vec{u}}_d=(2;-1;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ cần tìm có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }$ vuông góc với ${\vec{n}}_{(P)}$ và ${\vec{u}}_d$ nên chọn: ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_{(P)},{\vec{u}}_d]=(-1;2;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ qua $I$, vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }$ có phương trình tham số: $$\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1+2t\\ z=5-2t\end{array},(t\in \mathbb{R}).$$ LƯU Ý: Nếu học sinh làm cách khác và đúng yêu cầu thì cho điểm tối đa ý, câu đó.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;1)$, mặt phẳng $(\alpha )$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(3;4;5)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|6+4+5|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{50}}=\frac{15}{\sqrt{300}}=\frac{15}{10\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\phi =60^0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(0;-1;\sqrt{3})$. Mặt phẳng $(Oxz)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(0;1;0)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-1|}{\sqrt{0+1+3}\cdot 1}=\frac{1}{2}$, suy ra $\phi =30^{\circ }$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 4 mã 102: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-2;2;0)$. Mặt phẳng $(Oyz)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;0;0)$. Góc $\phi$ giữa đường thẳng và mặt phẳng thỏa $\sin \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{|-2|}{\sqrt{4+4}\cdot 1}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\phi =45^{\circ }$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án mã 101.

(AI giải đề cho tôi)
Sườn núi là mặt phẳng (OAB) qua O(0;0;0), A(3;-4;2), B(-5;-2;1). Vecto pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=(0;-13;-26)\parallel (0;1;2)$, nên $(OAB):y+2z=0$. Điểm buộc dây $C(0;0;5)$.

Dây CA: $\overrightarrow{CA}=(3;-4;-3)$, $|CA|=\sqrt{34}$. $\sin \alpha =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{CA}|}{|\vec{n}||CA|}=\frac{|-4-6|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{34}}=\frac{10}{\sqrt{170}}\approx 0,7669\Rightarrow \alpha \approx 50,07^{\circ }$.

Dây CB: $\overrightarrow{CB}=(-5;-2;-4)$, $|CB|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. $\sin \beta =\frac{|-2-8|}{\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\Rightarrow \beta \approx 41,81^{\circ }$.

Tổng $\alpha +\beta \approx 91,88^{\circ }\approx 92^{\circ }$.