Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường và mặt (Toán học Lớp 12)

Vì $M\in \Delta$ nên gọi $M(t;1+t;2+3t)$.
Lại có $M\in (P)$ nên thay vào $(P)$ ta được $t+(1+t)-2(2+3t)+7=0\iff -4t+4=0\Rightarrow t=1$
Vậy $M(1;2;5)\Rightarrow a+b+c=8$.

VTCP của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u}=(a;b;c)$.
VTPT của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}=(A;B;C)$.
Công thức tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và $(P)$ là $\sin (\Delta ,(\alpha ))=\frac{|aA+bB+cC|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
Chọn đáp án (A)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng sườn núi đi qua O, A, B. VTCP pháp tuyến: n = OA×OB = (3;-4;2)×(-5;-2;1) = (0;-13;-26) ∝ (0;1;2), |n|=√5. Hai dây neo từ C(0;0;5): CA = (3;-4;-3), |CA|=√34; CB = (-5;-2;-4), |CB|=√45. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sinθ = |n·v|/(|n||v|). Dây CA: sinθ₁ = 10/(√5·√34) = 10/√170 ≈ 0,7670 → θ₁ ≈ 50,07°. Dây CB: sinθ₂ = 10/(√5·√45) = 10/15 = 2/3 → θ₂ ≈ 41,81°. Tổng ≈ 91,88° ≈ 92°.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng sườn núi đi qua O, A, B nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}=(0;-13;-26)\parallel (0;1;2)$. Gọi C(0;0;5) là điểm buộc dây. Dây 1: $\overrightarrow{CA}=(3;-4;-3)$, $|CA|=\sqrt{34}$, $\sin {\theta }_1=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{CA}|}{|\vec{n}||CA|}=\frac{10}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{34}}=\frac{10}{\sqrt{170}}\approx 0,7670\Rightarrow {\theta }_1\approx 50,07^{\circ }$. Dây 2: $\overrightarrow{CB}=(-5;-2;-4)$, $|CB|=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, $\sin {\theta }_2=\frac{10}{\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}}=\frac{2}{3}\Rightarrow {\theta }_2\approx 41,81^{\circ }$. Tổng $\approx 91,88^{\circ }\approx 92^{\circ }$, khớp với đáp án nguồn (92).

(AI giải đề cho tôi)
Véctơ chỉ phương của đường bay: $\overrightarrow{AB}=(7-1;8-2;0-3)=(6;6;-3)$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$ (pháp tuyến $\vec{n}=(0;0;1)$) thỏa $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|-3|}{\sqrt{36+36+9}\cdot 1}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. Suy ra $\alpha =\arcsin \frac{1}{3}\approx 19,47^{\circ }\approx 19^{\circ }$ (làm tròn đến hàng đơn vị). Kết quả trùng với đáp án nguồn là 19.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay AB là $\overrightarrow{AB}=(7;6;-3)$. Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(Oxy)$ có $\sin \alpha =\frac{|-3|}{\sqrt{7^2+6^2+(-3{)}^2}}=\frac{3}{\sqrt{94}}\approx 0,3094$. Suy ra $\alpha \approx 18,02^{\circ }\approx 18^{\circ }$ (làm tròn đến hàng đơn vị). Kết quả khớp với đáp án nguồn 18.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay AB là $\overrightarrow{AB}=(7-1;8-2;0-3)=(6;6;-3)$, độ dài $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{36+36+9}=9$. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng sân bay $(Oxy)$ là $\vec{n}=(0;0;1)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{n}|}=\frac{|-3|}{9\cdot 1}=\frac{1}{3}$. Suy ra $\alpha =\arcsin \frac{1}{3}\approx 19,47^{\circ }\approx 19^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay AB là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(8-1;8-2;0-3)=(7;6;-3)$, với $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{7^2+6^2+3^2}=\sqrt{94}$. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng sân bay $(Oxy)$ là $\vec{n}=(0;0;1)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{94}}\approx 0,3094$. Suy ra $\alpha =\arcsin (0,3094)\approx 18,02^{\circ }\approx 18^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (18).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phát biểu của Câu 4 (Phần II):

a) $\overrightarrow{MA}=A-M=(0-1;1-(-1);3-6)=(-1;2;-3)\ne (1;-2;3)$ → sai.

b) $\overrightarrow{AB}=(2-0;-2-1;3-3)=(2;-3;0)$ có thành phần $z=0$ nên $AB$ song song với mặt phẳng $(Oxy)$, góc tạo với mặt sàn bằng $0^{\circ }$ → đúng.

c) Tia sáng qua $M(1;-1;6)$ và $B(2;-2;3)$ có vtcp $\overrightarrow{MB}=(1;-1;-3)$. Phương trình đề cho có vtcp $(-1;2;-3)$ không cùng phương với $\overrightarrow{MB}$ (tỉ số $1/(-1)\ne -1/2$), và tại $t=0$ điểm $(1;-1;6)=M$ nhưng với $t$ bất kỳ không đạt được $B$ (hệ $1-t=2,-1+2t=-2$ cho $t=-1$ và $t=-1/2$, mâu thuẫn) → sai. Phương trình đúng: $x=1+t,y=-1-t,z=6-3t$.

d) Tia $MA$: $(1-t;-1+2t;6-3t)$, $z=0$ khi $t=2$ → $A^{\prime }(-1;3;0)$, $O{A}^{\prime }=\sqrt{10}$. Tia $MB$: $(1+t;-1-t;6-3t)$, $z=0$ khi $t=2$ → $B^{\prime }(3;-3;0)$, $O{B}^{\prime }=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. Đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ có vtcp $(4;-6;0)$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng là $\frac{|(-1)(-6)-3\cdot 4|}{\sqrt{52}}=\frac{6}{\sqrt{52}}\approx 0,83$, chân đường vuông góc nằm trong đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (tham số $t=22/52\in [0;1]$). Do đó điểm trên bóng râm xa $O$ nhất là $B^{\prime }$ với $O{B}^{\prime }=3\sqrt{2}$, bán kính tối thiểu của thảm là $3\sqrt{2}$ m → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}=(-1;2;-3)\ne (1;-2;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;-3;0)$ song song $(Oxy)$ nên góc bằng $0^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vtcp đúng là $\overrightarrow{MB}=(1;-1;-3)$, không cùng phương với $(-1;2;-3)$ và đường thẳng đề cho không đi qua $B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }(-1;3;0)$, $O{A}^{\prime }=\sqrt{10}$; $B^{\prime }(3;-3;0)$, $O{B}^{\prime }=3\sqrt{2}$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }\approx 0,83$ nên điểm xa nhất là $B^{\prime }$, bán kính tối thiểu $3\sqrt{2}$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay $AB$ là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(6;6;-3)$, $|\vec{u}|=\sqrt{36+36+9}=9$. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng sân bay $(Oxy)$ là $\vec{n}=(0;0;1)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|-3|}{9\cdot 1}=\frac{1}{3}$, nên $\alpha =\arcsin \frac{1}{3}\approx 19,47^{\circ }\approx 19^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(8-1;8-2;0-3)=(7;6;-3)$, độ dài $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{49+36+9}=\sqrt{94}$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$ có $\sin \alpha =\frac{|-3|}{\sqrt{94}}=\frac{3}{\sqrt{94}}$, nên $\alpha =\arcsin \frac{3}{\sqrt{94}}\approx 18,06^{\circ }\approx 18^{\circ }$. Vậy $\alpha =18$, khớp với đáp án nguồn (đề 101/103, Câu 4 = 18).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của AB là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(6;6;-3)$, $|\vec{u}|=\sqrt{36+36+9}=9$. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(Oxy)$ là $\vec{n}=(0;0;1)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$, nên $\alpha =\arcsin (1/3)\approx 19,47^{\circ }\approx 19^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (19).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường bay AB là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(7;6;-3)$. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng sân bay $(Oxy)$ là $\vec{n}=(0;0;1)$. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin \alpha =\frac{|u_z|}{|\vec{u}|}=\frac{3}{\sqrt{49+36+9}}=\frac{3}{\sqrt{94}}\approx 0,3094$. Suy ra $\alpha =\arcsin (0,3094)\approx 18,02^{\circ }\approx 18^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (18).

(AI giải đề cho tôi)
a) Với t=0, d đi qua điểm (1;2;-2), nên khẳng định Đúng. b) (Q) song song (P) nên có VTPT (1;2;-2); qua O(0;0;0) nên (Q): x+2y-2z=0, Đúng. c) Bán kính mặt cầu tâm O tiếp xúc (P) là R = d(O,(P)) = 4/√(1+4+4) = 4/3, nên R² = 16/9 ≠ 3; mặt cầu đúng là x²+y²+z²=16/9, khẳng định Sai. d) u_d=(2;-1;-2), n_P=(1;2;-2); sinθ = |2-2+4|/(3·3) = 4/9, θ ≈ 26° (làm tròn hàng đơn vị) ≠ 30°, khẳng định Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay t=0 vào phương trình d được điểm (1;2;-2) = A, nên d qua A.
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) song song (P) có VTPT (1;2;-2), qua O(0;0;0) nên (Q): x+2y-2z=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = d(O,(P)) = |4|/√9 = 4/3, nên R² = 16/9 ≠ 3. Mặt cầu đúng: x²+y²+z²=16/9.
d) (AI giải đề cho tôi)
sinθ = |u·n|/(|u||n|) = |2-2+4|/(3·3) = 4/9, nên θ ≈ 26° ≠ 30°.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có điểm $A(2;1;-1)$ và vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;2;2)$. Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{v}=(1;1;0)$.

Mặt phẳng $(P)$ chứa $d$ nên pháp tuyến $\vec{n}=(a;b;c)$ thỏa $\vec{n}\cdot \vec{u}=0$, tức $a+2b+2c=0$.

Góc giữa $\Delta$ và $(P)$ thỏa $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{v}|}{|\vec{n}||\vec{v}|}$. Vì $\vec{v}$ không vuông góc với $\vec{u}$ ($\vec{u}\cdot \vec{v}=3\ne 0$) nên không thể có $\theta =90^{\circ }$. Với ràng buộc $\vec{n}\perp \vec{u}$, $\sin \theta$ lớn nhất khi $\vec{n}$ cùng phương với hình chiếu của $\vec{v}$ lên mặt phẳng vuông góc với $\vec{u}$:
$${\vec{v}}_{\perp }=\vec{v}-\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}{|}^2}\vec{u}=(1;1;0)-\frac{3}{9}(1;2;2)=\left(\frac{2}{3};\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)\parallel (2;1;-2).$$

Chọn $\vec{n}=(2;1;-2)$, kiểm tra $\vec{n}\cdot \vec{u}=2+2-4=0$ ✓. Mặt phẳng qua $A(2;1;-1)$:
$$2(x-2)+(y-1)-2(z+1)=0\iff 2x+y-2z-7=0.$$

Vậy $a=2,b=1,c=-2$ và $T=a+b+c=2+1-2=1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\Delta$ đi qua A, B nên vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{AB}=(a-4;b+1;1-3)=(a-4;b+1;-2)$.

$\Delta$ vuông góc với $d$ có chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=(3;2;1)$:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u_d}=0\Rightarrow 3(a-4)+2(b+1)+1\cdot (-2)=0\Rightarrow 3a+2b=12.$$

$\Delta$ song song với $(P)$ có pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;3)$:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}=0\Rightarrow 2(a-4)-(b+1)+3(-2)=0\Rightarrow 2a-b=15.$$

Giải hệ $\{\begin{array}{l}3a+2b=12\\ 2a-b=15\end{array}$: từ phương trình thứ hai $b=2a-15$, thay vào: $3a+4a-30=12\Rightarrow 7a=42\Rightarrow a=6$, suy ra $b=2\cdot 6-15=-3$.

Vậy $a-b=6-(-3)=9$, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 3: 9).

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A(-3;1;2)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3)$. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $$\{\begin{array}{l}x=-3+2t\\ y=1+t\\ z=2+3t\end{array}$$ (0,25)

Ta có $P$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $mp(\alpha )$ nên tọa độ $P(-3+2t;1+t;2+3t)$ (0,25)

Thay tọa độ điểm $P$ vào phương trình $mp(\alpha )$ giải tìm được $t=2$. Suy ra tọa độ điểm $P(1;3;8)$ (0,25)

Tính được $AP\approx 7,5$ (m (0,25) — (giữ nguyên theo nguồn: thiếu dấu đóng ngoặc trong '(m')

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa đường thẳng Δ (vtcp u⃗=(a;b;c)) và mặt phẳng (P) (vpt n⃗=(A;B;C)) thỏa sin(Δ,(P)) = |cos(u⃗,n⃗)| = |Aa+Bb+Cc| / (√(A²+B²+C²)·√(a²+b²+c²)). Đây chính là đáp án D, khớp với đáp án nguồn (đề 1002, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{AB}=(a-1;5;c-3)$. Vì $\Delta \perp d$ với $\overrightarrow{u_d}=(3;2;1)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u_d}=0$: $3(a-1)+2\cdot 5+(c-3)=0\iff 3a+c+4=0$. Vì $\Delta \parallel (P)$ với $\overrightarrow{n_P}=(1;-3;2)$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n_P}=0$: $(a-1)-3\cdot 5+2(c-3)=0\iff a+2c-22=0$. Giải hệ $\{\begin{array}{l}3a+c=-4\\ a+2c=22\end{array}$ ta được $a=-6,c=14$. Vậy $a+c=8$, khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 3 = 8).

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $M(-2;3;1)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u}=(1;2;3)$. Suy ra phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $$\{\begin{array}{l}x=-2+t\\ y=3+2t\\ z=1+3t\end{array}$$ (0,25)

Ta có $N$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và $mp(\alpha )$ nên tọa độ $N(-2+t;3+2t;1+3t)$ (0,25)

Thay tọa độ điểm $N$ vào phương trình $mp(\alpha )$ giải tìm được $t=2$. Suy ra tọa độ điểm $N(0;7;7)$ (0,25)

Tính được $MN\approx 7,5$ (m) (0,25)