Trong một đại sảnh triển lãm, người ta chọn hệ tọa độ $Oxyz$ với mặt sàn được xem là mặt phẳng $(Oxy)$ (đơn vị đo chiều dài là mét). Một bóng đèn chiếu sáng được đặt trên trần nhà tại điểm $M(1;-1;6)$. Một thanh trang trí $AB$ bằng kim loại được treo nằm ngang song song với mặt sàn, có tọa độ các đầu mút là $A(0;1;3)$ và $B(2;-2;3)$. Bóng đèn chiếu sáng thanh $AB$ tạo ra một bóng râm là đoạn thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ trên mặt sàn. Ban quản lý muốn trải một tấm thảm hình tròn trang trí có tâm tại gốc $O(0;0;0)$ để che phủ hoàn toàn bóng râm này.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng phát biểu của Câu 4 (Phần II):

a) $\overrightarrow{MA}=A-M=(0-1;1-(-1);3-6)=(-1;2;-3)\ne (1;-2;3)$ → sai.

b) $\overrightarrow{AB}=(2-0;-2-1;3-3)=(2;-3;0)$ có thành phần $z=0$ nên $AB$ song song với mặt phẳng $(Oxy)$, góc tạo với mặt sàn bằng $0^{\circ }$ → đúng.

c) Tia sáng qua $M(1;-1;6)$ và $B(2;-2;3)$ có vtcp $\overrightarrow{MB}=(1;-1;-3)$. Phương trình đề cho có vtcp $(-1;2;-3)$ không cùng phương với $\overrightarrow{MB}$ (tỉ số $1/(-1)\ne -1/2$), và tại $t=0$ điểm $(1;-1;6)=M$ nhưng với $t$ bất kỳ không đạt được $B$ (hệ $1-t=2,-1+2t=-2$ cho $t=-1$ và $t=-1/2$, mâu thuẫn) → sai. Phương trình đúng: $x=1+t,y=-1-t,z=6-3t$.

d) Tia $MA$: $(1-t;-1+2t;6-3t)$, $z=0$ khi $t=2$ → $A^{\prime }(-1;3;0)$, $O{A}^{\prime }=\sqrt{10}$. Tia $MB$: $(1+t;-1-t;6-3t)$, $z=0$ khi $t=2$ → $B^{\prime }(3;-3;0)$, $O{B}^{\prime }=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. Đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ có vtcp $(4;-6;0)$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng là $\frac{|(-1)(-6)-3\cdot 4|}{\sqrt{52}}=\frac{6}{\sqrt{52}}\approx 0,83$, chân đường vuông góc nằm trong đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ (tham số $t=22/52\in [0;1]$). Do đó điểm trên bóng râm xa $O$ nhất là $B^{\prime }$ với $O{B}^{\prime }=3\sqrt{2}$, bán kính tối thiểu của thảm là $3\sqrt{2}$ m → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}=(-1;2;-3)\ne (1;-2;3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;-3;0)$ song song $(Oxy)$ nên góc bằng $0^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vtcp đúng là $\overrightarrow{MB}=(1;-1;-3)$, không cùng phương với $(-1;2;-3)$ và đường thẳng đề cho không đi qua $B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }(-1;3;0)$, $O{A}^{\prime }=\sqrt{10}$; $B^{\prime }(3;-3;0)$, $O{B}^{\prime }=3\sqrt{2}$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }\approx 0,83$ nên điểm xa nhất là $B^{\prime }$, bán kính tối thiểu $3\sqrt{2}$ m.