Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng 1 đơn vị, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ $AB$ đến $SC$ bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{Z}}^{+})$; $(\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Tính tổng $a+b$?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, vì $\widehat{BAD}=60^{\circ }$ nên $D\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$, $C\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, cạnh huyền $AB=1$ nên $SA=SB=\frac{1}{\sqrt{2}}$; chân đường cao là trung điểm $M\left(\frac{1}{2};0;0\right)$ của $AB$ và $SM\perp (ABCD)$ (do $(SAB)\perp (ABCD)$, giao tuyến $AB$), $SM=\frac{1}{2}$, suy ra $S\left(\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}\right)$. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau $AB$ và $SC$: ${\vec{u}}_{AB}=(1;0;0)$, ${\vec{u}}_{SC}=\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)$, $\vec{n}={\vec{u}}_{AB}\times {\vec{u}}_{SC}=\left(0;\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $|\vec{n}|=1$. Với $\vec{w}=S-A=\left(\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}\right)$ thì $\vec{w}\cdot \vec{n}=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Vậy $d(AB,SC)=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (kiểm tra bằng cực tiểu hóa $|P-Q|$ cho bình phương khoảng cách nhỏ nhất $=\frac{3}{16}$, khớp). Suy ra $a=3$, $b=4$ tối giản, $a+b=7$, trùng đáp án mã đề 202 câu 17 = 7.