Cho hàm số $y=f(x)=\frac{2x^2-5x+9}{x-5}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) Có đúng một điểm trên đồ thị hàm số cách đều hai trục tọa độ.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;9)$.
c) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $y=5$.
d) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-\frac{9}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{2x^2-5x+9}{x-5}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{5\}$.

a) Điểm cách đều hai trục có tọa độ $(x;y)$ với $|y|=|x|$, tức $y=x$ hoặc $y=-x$.
- $f(x)=x\Rightarrow 2x^2-5x+9=x^2-5x\Rightarrow x^2+9=0$: vô nghiệm.
- $f(x)=-x\Rightarrow 2x^2-5x+9=-x^2+5x\Rightarrow 3x^2-10x+9=0$, $\Delta =100-108=-8<0$: vô nghiệm.
Vậy không có điểm nào cách đều hai trục → SAI.

b) $y^{\prime }=\frac{(4x-5)(x-5)-(2x^2-5x+9)}{(x-5{)}^2}=\frac{4x^2-25x+25-2x^2+5x-9}{(x-5{)}^2}=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x^2-10x+8=0\iff x=5\pm \sqrt{17}\approx 0,88$ và $x\approx 9,12$, đều ngoài khoảng $(1;9)$; trên $(1;5)$ và $(5;9)$ có $y^{\prime }<0$. Nhưng khoảng $(1;9)$ không nằm hoàn toàn trong tập xác định (chứa $x=5$), nên hàm số không nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ → SAI.

c) Vì ${\lim }_{x\to 5^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là đường thẳng $x=5$, không phải $y=5$ → SAI.

d) $f(0)=\frac{9}{-5}=-\frac{9}{5}$ → ĐÚNG.

Khớp với đáp án nguồn (mã 202, câu 15: S S S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Điểm cách đều hai trục: $|y|=|x|$, tức $y=x$ hoặc $y=-x$.
- $f(x)=x\Rightarrow x^2+9=0$: vô nghiệm.
- $f(x)=-x\Rightarrow 3x^2-10x+9=0$, $\Delta =-8<0$: vô nghiệm.
Vậy không tồn tại điểm nào cách đều hai trục → SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x^2-20x+16}{(x-5{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=5\pm \sqrt{17}\approx 0,88;9,12$, đều ngoài $(1;9)$; trên $(1;5)$ và $(5;9)$ có $y^{\prime }<0$. Tuy nhiên $(1;9)$ chứa $x=5$ không thuộc tập xác định, nên hàm số không nghịch biến trên khoảng $(1;9)$ → SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng là $x=5$ (do ${\lim }_{x\to 5^{\pm }}f(x)=\pm \infty$), không phải $y=5$ → SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{9}{-5}=-\frac{9}{5}$ → ĐÚNG.