Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{3}$, cạnh bên bằng $2a$. Điểm $M$ là trung điểm cạnh $AC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SC$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $C(a\sqrt{3};0;0)$, $B\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{3a}{2};0\right)$, $M\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};0;0\right)$. Tâm đáy $O\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0\right)$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy bằng $\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a$ nên $SO=\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=a\sqrt{3}$, suy ra $S\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};a\sqrt{3}\right)$.

Vectơ chỉ phương: ${\vec{u}}_{BM}=\overrightarrow{MB}=(0;1;0)$ (tỉ lệ), ${\vec{u}}_{SC}=\overrightarrow{CS}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a}{2};-a\sqrt{3}\right)\propto (\sqrt{3};-1;-2\sqrt{3})$.

Vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}={\vec{u}}_{SC}\times {\vec{u}}_{BM}=(2\sqrt{3};0;\sqrt{3})$, $|\vec{n}|=\sqrt{12+3}=\sqrt{15}$.

Lấy $\vec{w}=\overrightarrow{BS}=\left(0;-a;a\sqrt{3}\right)$, khi đó $\vec{w}\cdot \vec{n}=0+0+3a^2$... chính xác $\vec{w}\cdot \vec{n}=a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3a^2$.

Khoảng cách giữa $BM$ và $SC$: $d=\frac{|\vec{w}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{3a^2}{a\sqrt{15}}=\frac{3a}{\sqrt{15}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Vậy đáp án B.