Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Mặt bên $B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa $C{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng $\frac{a\sqrt{12}}{5}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $B=(0;0;0)$, $C=(a;0;0)$, $A=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$. Vì mặt $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ là hình thoi cạnh $a$ và vuông góc với đáy nên nó nằm trong mặt phẳng $y=0$; do đó $C^{\prime }=(a+a\cos \theta ;0;a\sin \theta )$, $B^{\prime }=(a\cos \theta ;0;a\sin \theta )$ với $\theta$ là góc giữa $C{C}^{\prime }$ và $BC$, chiều cao khối lăng trụ $h=a\sin \theta$.

Vì $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên khoảng cách từ $C{C}^{\prime }$ đến $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng đó. Vectơ pháp tuyến của $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$: $\vec{n}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{BA}=\frac{a^2}{2}\left(-\sqrt{3}\sin \theta ;\sin \theta ;\sqrt{3}\cos \theta \right)$, với $|\vec{n}|=\frac{a^2}{2}\sqrt{3+{\sin }^2\theta }$.

Khoảng cách: $d(C,(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }))=\frac{a\sqrt{3}\sin \theta }{\sqrt{3+{\sin }^2\theta }}=\frac{2a\sqrt{3}}{5}$, suy ra $\frac{{\sin }^2\theta }{3+{\sin }^2\theta }=\frac{4}{25}\Rightarrow 21{\sin }^2\theta =12\Rightarrow \sin \theta =\frac{2}{\sqrt{7}}$.

Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{2a}{\sqrt{7}}=\frac{a^3\sqrt{21}}{14}$. Đáp án B.