Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên.



Bất phương trình $f(x)>2x+m$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc khoảng $(0;2)$ khi và chỉ khi

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=f(x)-2x$ với $x\in (0;2)$. Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-2$. Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(0)=2$, $f^{\prime }(2)=0$ và trên khoảng $(0;2)$ đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm dưới đường thẳng $y=2$ (giảm từ 2 xuống 0), tức $f^{\prime }(x)<2$ với mọi $x\in (0;2)$. Vậy $g^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, suyra $g$ nghịch biến trên $(0;2)$, do đó với mọi $x\in (0;2)$: $g(x)>g(2)=f(2)-4$ (dấu nghiêm ngặt vì $x<2$ và $g$ nghịch biến). Bất phương trình $f(x)>2x+m$ đúng với mọi $x\in (0;2)$ khi và chỉ khi $f(x)-2x>m$ với mọi $x\in (0;2)$, tức $m\le {\min }_{(0;2)}g(x)$. Vì $g(x)>f(2)-4$ với mọi $x\in (0;2)$ và $g(x)\to f(2)-4$ khi $x\to 2^{-}$, điều kiện cần và đủ là $m\le f(2)-4$. Đáp án C.