Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-2;3;1)$, $B(2;1;0)$ và $C(-3;-1;1)$. Điểm $D(m;n;p)$ thỏa mãn $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AD$, $BC$ và diện tích hình thang $ABCD$ gấp 3 lần diện tích tam giác $ABC$. Tổng $m+n+p$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(-5;-2;1)$. Vì $AD$ là đáy nên $\overrightarrow{AD}=t\overrightarrow{BC}$, suy ra $D=A+t\overrightarrow{BC}=(-2-5t;3-2t;1+t)$.

Gọi $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Chiều cao giữa hai đáy $AD$ và $BC$ là khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng qua $A$ song song $BC$, bằng $h=\frac{2S}{|BC|}$.

Diện tích hình thang: $\frac{1}{2}(|AD|+|BC|)h=\frac{1}{2}(|t|+1)|BC|\cdot \frac{2S}{|BC|}=(|t|+1)S=3S$, suy ra $|t|=2$, tức $t=\pm 2$.

Với $t=2$: $D=(-12;-1;3)$, $m+n+p=-10$. Với $t=-2$: $D=(8;7;-1)$, $m+n+p=14$ (không có trong đáp án).

Vậy chọn đáp án D.