Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{u_1}=(-1;-2;1)$, $\overrightarrow{u_2}=(-3;2m;1)$. Hai đường thẳng vuông góc khi $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$: $(-1)(-3)+(-2)(2m)+1\cdot 1=3-4m+1=0\Rightarrow 4m=4\Rightarrow m=1$. Kiểm tra: với $m=1$, $\overrightarrow{u_2}=(-3;2;1)$, tích có hướng $=3-4+1=0$. Vậy $m=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm $M$ thỏa cả hai phương trình tham số: $-3+2t=5+t^{\prime }$, $-2+3t=-1-4t^{\prime }$, $6+4t=20+t^{\prime }$. Từ hai phương trình đầu: $2t-t^{\prime }=8$ và $3t+4t^{\prime }=1$. Thay $t^{\prime }=2t-8$ vào: $3t+8t-32=1\Rightarrow 11t=33\Rightarrow t=3$, $t^{\prime }=-2$. Kiểm tra phương trình thứ ba: $6+4(3)=18=20+(-2)$ ✓. Vậy $M(3;7;18)$ và $a+b+c=3+7+18=28$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(-1;4;3)$, VTCP của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(1;-4;-3)=-\overrightarrow{u_1}$. Hai vectơ cùng phương nên hai đường thẳng song song, góc giữa chúng bằng $0^{\circ }$. Do đó $\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|-1-16-9|}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{26}}=\frac{26}{26}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_d}=(1;1;-1)$ và $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-2;-1)$.

Cosin góc giữa hai đường thẳng:
$$\cos (d,\Delta )=\frac{|\overrightarrow{u_d}\cdot \overrightarrow{u_{\Delta }}|}{|\overrightarrow{u_d}||\overrightarrow{u_{\Delta }}|}=\frac{|1\cdot 1+1\cdot (-2)+(-1)\cdot (-1)|}{\sqrt{1+1+1}\cdot \sqrt{1+4+1}}=\frac{|1-2+1|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}=\frac{0}{3\sqrt{2}}=0.$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ bằng $90^{\circ }$ (hai đường thẳng vuông góc với nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=(m;m;-1)$, đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-1;2m)$.

Cosin góc giữa hai đường thẳng:
$$\cos (d,\Delta )=\frac{|m\cdot 1+m\cdot (-1)+(-1)(2m)|}{\sqrt{2m^2+1}\cdot \sqrt{1+1+4m^2}}=\frac{2|m|}{\sqrt{2m^2+1}\cdot \sqrt{4m^2+2}}$$

Vì $\sqrt{4m^2+2}=\sqrt{2}\sqrt{2m^2+1}$ nên:
$$\cos (d,\Delta )=\frac{2|m|}{\sqrt{2}(2m^2+1)}$$

Góc bằng $60^{\circ }$ nên $\cos (d,\Delta )=\frac{1}{2}$:
$$\frac{2|m|}{\sqrt{2}(2m^2+1)}=\frac{1}{2}⟺4|m|=\sqrt{2}(2m^2+1)$$

Đặt $u=|m|>0$ (nếu $m=0$ thì $\Delta$ có $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-1;0)$, khi đó cosin góc bằng 0, không thỏa):
$$2\sqrt{2}{u}^2-4u+\sqrt{2}=0⟺u^2-\sqrt{2}u+\frac{1}{2}=0⟺{\left(u-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=0$$

Suy ra $u=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, tức $S=\left\{\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2}\right\}$.

Kiểm tra: với $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$: $\cos (d,\Delta )=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}\left(2\cdot \frac{1}{2}+1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, đúng.

Tích các giá trị trong tập $S$:
$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{1}{2}$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d$ đi qua $O$ và thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ nên $d$ có vectơ chỉ phương dạng $\vec{u}=(0;b;c)$. Ta có $\overrightarrow{OM}=(1;-2;1)$ với $|\overrightarrow{OM}{|}^2=1+4+1=6$. Khoảng cách từ $M$ đến $d$ là
$$d(M,d{)}^2=|\overrightarrow{OM}{|}^2-\frac{(\overrightarrow{OM}\cdot \vec{u}{)}^2}{|\vec{u}{|}^2}=6-\frac{(-2b+c{)}^2}{b^2+c^2}.$$
Khoảng cách nhỏ nhất ứng với giá trị lớn nhất của $\frac{(-2b+c{)}^2}{b^2+c^2}$. Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, $(-2b+c{)}^2\le (b^2+c^2)((-2{)}^2+1^2)=5(b^2+c^2)$, dấu bằng khi $\frac{b}{-2}=\frac{c}{1}$, tức $\vec{u}$ cùng phương với hình chiếu của $\overrightarrow{OM}$ lên $(Oyz)$ là $\vec{u}=(0;-2;1)$. Khi đó $d_{\min }^2=6-5=1$, tức $d_{\min }=1$ (đúng bằng khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Oyz)$, vì đường thẳng $d$ qua $O$ và chân đường vuông góc từ $M$ xuống $(Oyz)$).

Trục tung là trục $Oz$ có vectơ chỉ phương $\vec{k}=(0;0;1)$. Cosin góc giữa $d$ và trục tung:
$$\cos \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{k}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{k}|}=\frac{|1|}{\sqrt{(-2{)}^2+1^2}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$$
Vậy cosin của góc giữa $d$ và trục tung bằng $\frac{\sqrt{5}}{5}\approx 0,4472$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(1;2;3)$ với VTCP $\vec{u}=(1;1;-1)$. Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua điểm $(1;-1;2)$ với VTCP $\overrightarrow{u^{\prime }}=(2;2;-2)=2\vec{u}$. Vì $\overrightarrow{u^{\prime }}=2\vec{u}$ nên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Xét vectơ $\overrightarrow{AB}$ với $A(1;2;3)\in d$, $B(1;-1;2)\in d^{\prime }$: $\overrightarrow{AB}=(0;-3;-1)$. Kiểm tra $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương với $\vec{u}$ vì $\frac{0}{1}\ne \frac{-3}{1}$. Vậy $d$ và $d^{\prime }$ song song với nhau nhưng không trùng nhau. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của ${\Delta }_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;4;m-1)$, VTCP của ${\Delta }_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(4;-1;2)$. Để ${\Delta }_1\perp {\Delta }_2$ thì $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$: $2\cdot 4+4\cdot (-1)+(m-1)\cdot 2=0\iff 8-4+2m-2=0\iff 2m+2=0\iff m=-1$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa $d_1:(1+2t;7+t;3+4t)$ và $d_2:(3s;3-2s;-4+s)$. Giải hệ $1+2t=3s$, $7+t=3-2s$: từ phương trình hai $t=-4-2s$, thay vào $1+2(-4-2s)=3s\Rightarrow -7-4s=3s\Rightarrow s=-1$, $t=-2$. Kiểm tra phương trình ba: $3+4(-2)=-5=-4+(-1)$ thỏa mãn. Vậy $M=(1+2(-2);7+(-2);3+4(-2))=(-3;5;-5)$, thuộc cả hai đường thẳng. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có $AB=4a$, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$ nên $AC=AB=4a$, $BD=4a\sqrt{3}$, suy ra $AO=2a$, $BO=2a\sqrt{3}$. Chọn hệ trục: $A(-2a;0;0)$, $C(2a;0;0)$, $B(0;2a\sqrt{3};0)$, $D(0;-2a\sqrt{3};0)$. Khi đó $H(-a;0;0)$, $S(-a;0;a\sqrt{3})$ (kiểm tra $SA=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$). Trung điểm: $M(a;-a\sqrt{3};0)$, $N(a;a\sqrt{3};0)$, $P\left(-\frac{3a}{2};0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Vectơ chỉ phương: $\vec{u}=\overrightarrow{PN}=\left(\frac{5a}{2};a\sqrt{3};-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $\vec{v}=\overrightarrow{SM}=(2a;-a\sqrt{3};-a\sqrt{3})$. Tích có hướng $\vec{u}\times \vec{v}=\left(-\frac{9a^2}{2};\frac{3a^2\sqrt{3}}{2};-\frac{9a^2\sqrt{3}}{2}\right)$, nên $|\vec{u}\times \vec{v}|=\frac{a^2}{2}\sqrt{81+27+243}=\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}$. Lấy $\overrightarrow{PS}=\left(-\frac{a}{2};0;-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, ta có $\overrightarrow{PS}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=\frac{9a^3}{4}+\frac{27a^3}{4}=9a^3$. Khoảng cách $d(PN,SM)=\frac{9a^3}{\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}}=\frac{6a}{\sqrt{39}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$. Vậy $m=39$, $n=13$, $m-n=26$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 22: 26).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(4a;0;0)$, $D=(-2a;2a\sqrt{3};0)$ (vì $\widehat{BAD}=120^{\circ }$), $C=(2a;2a\sqrt{3};0)$, $O=(a;a\sqrt{3};0)$, $H=(a/2;a\sqrt{3}/2;0)$, $S=(a/2;a\sqrt{3}/2;a\sqrt{3})$. Khi đó $M=(0;2a\sqrt{3};0)$, $N=(3a;a\sqrt{3};0)$, $P=(a/4;a\sqrt{3}/4;a\sqrt{3}/2)$. Vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{PN}=\frac{a}{4}(11;3\sqrt{3};-2\sqrt{3})$, $\vec{v}=\overrightarrow{SM}=\frac{a}{2}(-1;3\sqrt{3};-2\sqrt{3})$. Tính $\vec{u}\times \vec{v}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}(0;4;6)$, nên $|\vec{u}\times \vec{v}|=\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}$. Với $\vec{w}=\overrightarrow{SP}=(-a/4;-a\sqrt{3}/4;-a\sqrt{3}/2)$, ta có $\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=-9a^3$. Vậy khoảng cách $d(PN,SM)=\frac{9a^3}{\frac{3a^2\sqrt{39}}{2}}=\frac{6a}{\sqrt{39}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$. Suy ra $m=39$, $n=13$, $m-n=26$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(0,a\sqrt{3},0)$. Vì $B^{\prime }=A^{\prime }+B$, $C^{\prime }=A^{\prime }+C$ nên trung điểm $H$ của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là $H=A^{\prime }+\frac{B+C}{2}=A^{\prime }+\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$. Do $AH\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (ABC)$ (mặt phẳng $Oxy$) nên $H=(0,0,h)$, suy ra $A^{\prime }=\left(-\frac{a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{2},h\right)$. Từ $A{A}^{\prime }=2a$: $\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}+h^2=4a^2\Rightarrow h=a\sqrt{3}$, tức $A^{\prime }=\left(-\frac{a}{2},-\frac{a\sqrt{3}}{2},a\sqrt{3}\right)$, $C^{\prime }=\left(-\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},a\sqrt{3}\right)$. Hai đường thẳng: $A{A}^{\prime }$ có chỉ phương ${\vec{d}}_1=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right)$; $B{C}^{\prime }$ có chỉ phương ${\vec{d}}_2=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},\sqrt{3}\right)$. Tính ${\vec{d}}_1\times {\vec{d}}_2=(-3,-\sqrt{3},-\sqrt{3})$, $\left|{\vec{d}}_1\times {\vec{d}}_2\right|=\sqrt{15}$, và $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$. Khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$: $d=\frac{\left|\overrightarrow{AB}\cdot ({\vec{d}}_1\times {\vec{d}}_2)\right|}{\sqrt{15}}=\frac{3a}{\sqrt{15}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}$. Kết quả trùng với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(1;0;0) đến đường thẳng BC: u = BC = (2;1;0), AB = (−1;0;1). AB×u = (−1;2;−1), |AB×u| = √6, |u| = √5. d = √6/√5 = √30/5 (m). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(6;0;0),D(0;8;0),C(6;8;0),O(3;4;0)$. Vì $SA$ tạo với $(ABCD)$ góc $45^{\circ }$ nên góc $SAO=45^{\circ }$, với $AO=5$ suy ra $SO=5$, tức $S(3;4;5)$; $M$ trung điểm $SA$ nên $M(1,5;2;2,5)$. Ta có $\overrightarrow{SC}=(3;4;-5)$, $\overrightarrow{DM}=(1,5;-6;2,5)$, và vectơ nối $\overrightarrow{SM}=(-1,5;-2;-2,5)$. Tính $\overrightarrow{SC}\times \overrightarrow{DM}=(-20;-15;-24)$, độ dài $\sqrt{400+225+576}=\sqrt{1201}$. Tích hỗn tạp $\overrightarrow{SM}\cdot (\overrightarrow{SC}\times \overrightarrow{DM})=30+30+60=120$. Vậy khoảng cách giữa $SC$ và $DM$ là $\frac{120}{\sqrt{1201}}$, suy ra $n=1201$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;4;0)$, $C(4;4;0)$. Vì $BH=3HA$ nên $HA=1$, $H(1;0;0)$; vì $AK=3KD$ nên $AK=3$, $K(0;3;0)$.

c) Tam giác $SBH$ vuông tại $H$ (vì $SH\perp (ABCD)$), có $\widehat{SBH}=30^{\circ }$, $BH=3$ nên $SH=BH\tan 30^{\circ }=\sqrt{3}$. Đúng.

b) $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$, thể tích $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot \sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\ne \frac{16\sqrt{3}}{3}$. Sai.

a) $S(1;0;\sqrt{3})$. Đường $CH$: $(4-3t;4-4t)$; đường $BK$: $(4-4s;3s)$. Giải hệ được $s=\frac{12}{25}$, $t=\frac{16}{25}$, nên $E\left(\frac{52}{25};\frac{36}{25};0\right)$. Vectơ $\overrightarrow{SE}=\left(\frac{27}{25};\frac{36}{25};-\sqrt{3}\right)$, $|\overrightarrow{SE}{|}^2=\frac{729+1296}{625}+3=\frac{156}{25}$, $|\overrightarrow{SE}|=\frac{2\sqrt{39}}{5}$. Vì $BC\parallel y$ nên $\cos (SE,BC)=\frac{36/25}{2\sqrt{39}/5}=\frac{18}{5\sqrt{39}}$. Vậy $m=18$, $n=5$, $T=2\cdot 18-5=31$. Đúng.

d) Đường $AB$: qua $A(0;0;0)$, $\vec{u}=(1;0;0)$; đường $SD$: qua $S(1;0;\sqrt{3})$, $\vec{v}=(-1;4;-\sqrt{3})$. $\vec{u}\times \vec{v}=(0;\sqrt{3};4)$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\sqrt{19}$, $\overrightarrow{AS}=(1;0;\sqrt{3})$. Khoảng cách $=\frac{|\overrightarrow{AS}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{\sqrt{19}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{4\sqrt{57}}{19}$. Đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ $E\left(\frac{52}{25};\frac{36}{25};0\right)$, $\cos (SE,BC)=\frac{18}{5\sqrt{39}}$, nên $m=18,n=5$, $T=36-5=31$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot 8\cdot \sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\ne \frac{16\sqrt{3}}{3}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$SH=BH\tan 30^{\circ }=3\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ tính bằng công thức vectơ $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{4\sqrt{57}}{19}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, vì $\widehat{BAD}=60^{\circ }$ nên $D\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$, $C\left(\frac{3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$. Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$, cạnh huyền $AB=1$ nên $SA=SB=\frac{1}{\sqrt{2}}$; chân đường cao là trung điểm $M\left(\frac{1}{2};0;0\right)$ của $AB$ và $SM\perp (ABCD)$ (do $(SAB)\perp (ABCD)$, giao tuyến $AB$), $SM=\frac{1}{2}$, suy ra $S\left(\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}\right)$. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau $AB$ và $SC$: ${\vec{u}}_{AB}=(1;0;0)$, ${\vec{u}}_{SC}=\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2}\right)$, $\vec{n}={\vec{u}}_{AB}\times {\vec{u}}_{SC}=\left(0;\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, $|\vec{n}|=1$. Với $\vec{w}=S-A=\left(\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}\right)$ thì $\vec{w}\cdot \vec{n}=\frac{\sqrt{3}}{4}$. Vậy $d(AB,SC)=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (kiểm tra bằng cực tiểu hóa $|P-Q|$ cho bình phương khoảng cách nhỏ nhất $=\frac{3}{16}$, khớp). Suy ra $a=3$, $b=4$ tối giản, $a+b=7$, trùng đáp án mã đề 202 câu 17 = 7.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;-1;2)$ với $|\overrightarrow{u_1}|=3$; VTCP của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(1;2;2)$ với $|\overrightarrow{u_2}|=3$.

$$\cos (d_1,d_2)=\frac{|2\cdot 1+(-1)\cdot 2+2\cdot 2|}{3\cdot 3}=\frac{|2-2+4|}{9}=\frac{4}{9}$$

Suy ra góc giữa hai tia sáng: $\cos \phi =\frac{4}{9}\Rightarrow \phi \approx 63,6^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 63,6.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay chuyển động trên đường thẳng đi qua $M(-4;-2;3)$ và $N(5;10;9)$, vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(9;12;6)$. Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng là $d=\frac{|[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{OM}]|}{|\overrightarrow{MN}|}$ với $\overrightarrow{OM}=(-4;-2;3)$.

Tính tích có hướng:
$$[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{OM}]=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 9& 12& 6\\ -4& -2& 3\end{array}\right|=(12\cdot 3-6\cdot (-2);6\cdot (-4)-9\cdot 3;9\cdot (-2)-12\cdot (-4))=(48;-51;30).$$

$|[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{OM}]|=\sqrt{48^2+(-51{)}^2+30^2}=\sqrt{2304+2601+900}=\sqrt{5805}$.

$|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{9^2+12^2+6^2}=\sqrt{261}=3\sqrt{29}$.

$$d=\frac{\sqrt{5805}}{3\sqrt{29}}=\sqrt{\frac{5805}{261}}=\sqrt{\frac{645}{29}}\approx 4,7161\text{(đơn vị)}.$$

Vì mỗi đơn vị là 100 km, khoảng cách gần đài kiểm soát nhất là:
$$d\approx 4,7161\times 100\approx 471,6\text{km}.$$

(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(-1;5;2)$. $\cos (d_1,d_2)=\frac{|2\cdot (-1)+1\cdot 5+(-1)\cdot 2|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{180}}\approx 0,0745$, suy ra góc $\approx 85,73^{\circ }\approx 86^{\circ }\ne 85^{\circ }$ → Sai. b) $\overrightarrow{u_3}=(2;-10;-4)=-2\overrightarrow{u_2}$ nên $d_2\parallel d_3$ → Đúng. c) $\vec{u}=(2;1;1)$ không cùng phương với $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1)$ → Sai. d) Đường thẳng qua $A(-2;4;0)$ với VTCP $(7;-3;11)$: $\frac{x+2}{7}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z}{11}$ → Đúng. Khớp bảng đáp án mã đề 101: SĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1)$, $\overrightarrow{u_2}=(-1;5;2)$, $\cos \theta =\frac{|-2+5-2|}{\sqrt{6}\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{180}}\approx 0,0745$ nên $\theta \approx 85,73^{\circ }\approx 86^{\circ }\ne 85^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_3}=(2;-10;-4)=-2(-1;5;2)=-2\overrightarrow{u_2}$, hai vectơ cùng phương nên $d_2\parallel d_3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của $d_1$, VTCP là $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1)$, không cùng phương với $(2;1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(-2;4;0)$, VTCP $(7;-3;11)$ có phương trình $\frac{x+2}{7}=\frac{y-4}{-3}=\frac{z}{11}$, đúng như đề.