Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;2)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(-1;1;1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1\cdot (-1)+(-1)\cdot 1+2\cdot 1=-1-1+2=0$. Suy ra $\overrightarrow{u_1}\perp \overrightarrow{u_2}$, do đó góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$. Kết quả này khớp với bảng đáp án chính thức trang 9 (mã đề 1002, Câu 7 = A). Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;2)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-1;1;1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1\cdot (-1)+(-1)\cdot 1+2\cdot 1=-1-1+2=0$. Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai vecto vuông góc, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;6;0)$, $C(4;6;0)$, $S(0;0;4\sqrt{3})$.

Vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{SC}=(4;6;-4\sqrt{3})$, $\overrightarrow{BD}=(-4;6;0)$, và $\overrightarrow{BS}=(-4;0;4\sqrt{3})$.

Tích có hướng: $[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD}]=(24\sqrt{3};16\sqrt{3};48)$, độ dài $=8\sqrt{27+12+36}=8\sqrt{75}=40\sqrt{3}$.

$\overrightarrow{BS}\cdot [\overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD}]=-96\sqrt{3}+192\sqrt{3}=96\sqrt{3}$.

Khoảng cách giữa $SC$ và $BD$: $d=\frac{96\sqrt{3}}{40\sqrt{3}}=\frac{12}{5}=2,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{u_d}=(-2;-1;2)$, $\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=(1;3;-1)$. Tích vô hướng: $-2-3-2=-7$. Độ dài: $|\overrightarrow{u_d}|=\sqrt{4+1+4}=3$, $|\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}|=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}$. Cosin góc giữa hai đường thẳng (lấy giá trị dương): $\cos (d;d^{\prime })=\frac{|-7|}{3\sqrt{11}}=\frac{7}{3\sqrt{11}}=\frac{7\sqrt{11}}{33}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u_1=(-1;2;2)$ và $u_2=(2;0;-1)$. $\cos (d_1,d_2)=\frac{|(-1)(2)+2\cdot 0+2\cdot (-1)|}{\sqrt{1+4+4}\cdot \sqrt{4+0+1}}=\frac{4}{3\sqrt{5}}\approx 0,5963$. Vậy góc $\approx \arccos (0,5963)\approx 53,4^{\circ }\approx 53^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;6;3)$, đường thẳng ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(1;3;\frac{n}{2}\right)$. Để ${\Delta }_1\parallel {\Delta }_2$ thì $\overrightarrow{u_2}=k\overrightarrow{u_1}$ với $k=\frac{1}{2}$, suy ra $\frac{n}{2}=\frac{3}{2}$, tức $n=3$... kiểm tra lại: $\frac{n}{2}=k\cdot 3=\frac{3}{2}\Rightarrow n=3$. Tuy nhiên xét tỉ số: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{n/2}{3}\Rightarrow \frac{n}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow n=3$. Kiểm tra hai đường thẳng không trùng nhau: điểm $A(1;-5;0)\in {\Delta }_1$; với $n=3$, thay $A$ vào ${\Delta }_2$: $x=-4+t=1\Rightarrow t=5$, khi đó $y=3\cdot 5=15\ne -5$, nên $A\notin {\Delta }_2$, hai đường thẳng phân biệt. Vậy ${\Delta }_1\parallel {\Delta }_2$ khi $n=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-2;1)$ và $\overrightarrow{u_{{\Delta }^{\prime }}}=(2;1;-1)$. a) $\cos (\Delta ,{\Delta }^{\prime })=\frac{|1\cdot 2+(-2)\cdot 1+1\cdot (-1)|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{|-1|}{6}=\frac{1}{6}$ → đúng. b) Giải hệ $1+t=2s$, $2-2t=1+s$, $3+t=2-s$: từ hai phương trình đầu được $s=3/5$, $t=1/5$; thay vào phương trình thứ ba: $3+1/5=16/5\ne 2-3/5=7/5$ → hệ vô nghiệm, hai đường thẳng chéo nhau (không cắt nhau) → sai. c) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm ứng với $t=0$ là $M(1;2;3)$ và có vectơ chỉ phương $(1;-2;1)$ → đúng. d) Đường thẳng $d$ qua $K(1;1;1)$ song song với $\Delta$ nhận $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-2;1)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{1}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\Delta ,{\Delta }^{\prime })=\frac{|1\cdot 2+(-2)\cdot 1+1\cdot (-1)|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{1}{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hệ phương trình giao điểm vô nghiệm ($s=3/5,t=1/5$ thỏa hai phương trình đầu nhưng $16/5\ne 7/5$ ở phương trình thứ ba), nên hai đường thẳng chéo nhau, không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=0$ ta được điểm $M(1;2;3)$ thuộc $\Delta$ và $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-2;1)$ là vectơ chỉ phương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $K(1;1;1)$ song song với $\Delta$ có vectơ chỉ phương $(1;-2;1)$, phương trình $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;2;1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(4;3;5)$. Tính $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1\cdot 4+2\cdot 3+1\cdot 5=15$, $|\overrightarrow{u_1}|=\sqrt{6}$, $|\overrightarrow{u_2}|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$. Khi đó $\cos \phi =\frac{15}{\sqrt{6}\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{15}{10\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $\phi =30^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
d1 có VTCP u1=(1;-1;1), d2 có VTCP u2=(3;3;-1).
a) cos(u1,u2)=|1·3+(-1)·3+1·(-1)|/(√3·√19)=1/√57≈0,1325 ⇒ góc ≈82,4°>50°. Đúng.
b) Mặt phẳng qua A(1;-1;3) vuông góc d1 có VTPT u1=(1;-1;1): (x-1)-(y+1)+(z-3)=0 ⇔ x-y+z-5=0. Đúng.
c) M(7;-6;-6): trên d1 cần 2+t=7⇒t=5, khi đó z=1+5=6≠-6 nên M không thuộc d1, do đó d không cắt d1 tại M. Sai.
d) VTCP (6;-5;3) có tích vô hướng với u2: 18-15-3=0 nên vuông góc d2. Điểm trên d: (1+6t;-1-5t;3+3t), cho bằng điểm trên d1 (2+s;-1-s;1+s): từ y: s=5t; từ x: 1+6t=2+5t⇒t=1, s=5, kiểm tra z: 3+3=6=1+5 ✓. Vậy d qua A, cắt d1 tại (7;-6;6) và vuông góc d2. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos góc giữa u1=(1;-1;1) và u2=(3;3;-1) là 1/√57 ⇒ góc ≈82,4°>50°.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTPT (1;-1;1), qua A(1;-1;3): x-y+z-5=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với t=5 trên d1 ta được điểm (7;-6;6), không phải (7;-6;-6); M không thuộc d1.
d) (AI giải đề cho tôi)
VTCP (6;-5;3) vuông góc u2=(3;3;-1) và d cắt d1 tại (7;-6;6) khi t=1.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;2;-1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(1;-2;1)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|2-4-1|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{3\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi) $d_1$ đi qua $P(2;1;0)$ với vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(2;1;-1)$; $d_2$ đi qua $Q(a;0;1)$ với vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(1;2;-1)$. Hai vectơ chỉ phương không cùng phương nên $d_1$, $d_2$ không song song. Tính ${\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2=(1;1;3)$. Vectơ $\overrightarrow{PQ}=(a-2;-1;1)$, nên $\overrightarrow{PQ}\cdot ({\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2)=(a-2)-1+3=a$. Hai đường thẳng đồng phẳng khi và chỉ khi $a=0$. Vậy $d_1$ và $d_2$ chéo nhau khi $a\ne 0$, chọn đáp án C (khớp đáp án nguồn).

a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng. (Đáp án mã đề 1204: SDDD)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;0)$ và $\overrightarrow{u_2}=(0;1;-1)$.

$\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|1\cdot 0+(-1)\cdot 1+0\cdot (-1)|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng $60^{\circ }$, khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Gắn tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),A^{\prime }(0;0;1),D^{\prime }(0;1;1),C^{\prime }(1;1;1)$. Đường thẳng $D{D}^{\prime }$ có VTCP $(0;0;1)$, đường thẳng $A^{\prime }B$ có VTCP $(1;0;-1)$. VTCP của đường vuông góc chung: $(0;0;1)\times (1;0;-1)=(0;1;0)$. Trong các đáp án, chỉ $A^{\prime }{D}^{\prime }$ có VTCP $(0;1;0)$ (vì $A^{\prime }(0;0;1),D^{\prime }(0;1;1)$). Kiểm tra: $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp D{D}^{\prime }$ (nằm trong mặt phẳng đáy trên) và $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp A^{\prime }B$ vì $(0;1;0)\cdot (1;0;-1)=0$; hơn nữa $A^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt $D{D}^{\prime }$ tại $D^{\prime }$ và cắt $A^{\prime }B$ tại $A^{\prime }$. Vậy đường vuông góc chung là $A^{\prime }{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B(0;0;0)$, $C(15;0;0)$, $D(15;15;0)$, $A(0;30;0)$ (vì $AB\perp BC$, $CD\perp BC$ nên $AB\parallel CD$, $AB=30$); chiều cao lăng trụ $D{D}^{\prime }=15$ nên $z$-tọa độ các điểm trên $15$.

Đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$: đi qua $B^{\prime }(0;0;15)$, vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;0;0)$.
Đường thẳng $A^{\prime }D$: đi qua $D(15;15;0)$, vectơ chỉ phương $\vec{v}=\overrightarrow{A^{\prime }D}=(15;-15;-15)\parallel (1;-1;-1)$.

$\vec{w}=\overrightarrow{B^{\prime }D}=(15;15;-15)$.
$\vec{u}\times \vec{v}=(0;1;-1)$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\sqrt{2}$.
$\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=15+15=30$.

Khoảng cách $d(B^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }D)=\frac{30}{\sqrt{2}}=15\sqrt{2}\approx 21,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng cần tìm song song với $d_1$ nên có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3)$. Gọi $M(2t;t;t)\in d_2$ và $N(1+s;2+2s;2s)\in d_3$. Yêu cầu $\overrightarrow{MN}=(1+s-2t;2+2s-t;2s-t)$ cùng phương với $(2;1;3)$: tồn tại $k$ sao cho $1+s-2t=2k$, $2+2s-t=k$, $2s-t=3k$. Từ phương trình hai: $k=2+2s-t$. Thay vào phương trình nhất: $1+s-2t=4+4s-2t\Rightarrow s=-1$. Khi đó $k=-t$ và phương trình ba: $-2-t=-3t\Rightarrow t=1$. Vậy $M(2;1;1)$, $N(0;0;-2)$, $\overrightarrow{MN}=(-2;-1;-3)$ cùng phương với $(2;1;3)$. Đường thẳng qua $N(0;0;-2)$ với véc-tơ chỉ phương $(2;1;3)$: $\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Kiểm tra: $M(2;1;1)$: $\frac{2}{2}=\frac{1}{1}=\frac{1+2}{3}=1$ ✓; $N(0;0;-2)$: $0=0=0$ ✓. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ theo từng trục: $|\overrightarrow{v_1}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$, nên vận tốc máy bay 1 là $\overrightarrow{u_1}=\frac{900}{5}(3;4;0)=(540;720;0)$ km/h. $|\overrightarrow{v_2}|=\sqrt{5^2+12^2}=13$, nên $\overrightarrow{u_2}=\frac{910}{13}(5;12;0)=(350;840;0)$ km/h.

Vectơ vị trí tương đối ban đầu $\vec{d}=\overrightarrow{AB}=(31;-25;1)$, vận tốc tương đối $\vec{w}=\overrightarrow{u_2}-\overrightarrow{u_1}=(-190;120;0)$.

Bình phương khoảng cách: $f(t)=|\vec{d}+t\vec{w}{|}^2=50500t^2-17780t+1587$.

Khoảng cách nhỏ nhất tại $t^{\ast }=\frac{8890}{50500}\approx 0,17604$ h, $f(t^{\ast })\approx 22,01$, khoảng cách nhỏ nhất $\approx 4,69$ km $<9,3$ km nên hai máy bay có bị phạm khoảng cách an toàn.

Giải $50500t^2-17780t+1587=86,49$, tức $50500t^2-17780t+1500,51=0$:
$\Delta =17780^2-4\cdot 50500\cdot 1500,51\approx 13025380$, $\sqrt{\Delta }\approx 3609,07$.

$t=\frac{17780-3609,07}{101000}\approx 0,140306$ h $\approx 8,4184$ phút.

Vậy sau ít nhất khoảng $8,42$ phút hai máy bay bị phạm khoảng cách an toàn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=(2;-2;1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(1;3;4)$.

Ta có:
$$\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=2\cdot 1+(-2)\cdot 3+1\cdot 4=2-6+4=0.$$

Vì $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$ nên hai vectơ chỉ phương vuông góc với nhau. Do đó góc giữa hai đường thẳng là:
$$\cos (d_1,d_2)=\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=0\Rightarrow (d_1,d_2)=90^{\circ }.$$

Vậy số đo góc giữa hai đường thẳng đã cho bằng $90^{\circ }$ (hai đường thẳng vuông góc với nhau).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng cần tìm có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;3)$ (song song với $d_1$). Điểm trên $d_2$: $P(2t;t;t)$; điểm trên $d_3$: $Q(1+s;2+2s;2s)$. Yêu cầu $\overrightarrow{PQ}\parallel \vec{u}$: $\frac{1+s-2t}{2}=\frac{2+2s-t}{1}=\frac{2s-t}{3}=\lambda$. Từ phương trình thứ hai $\lambda =2+2s-t$; thay vào phương trình thứ nhất: $1+s-2t=4+4s-2t\Rightarrow s=-1$; khi đó $\lambda =-t$; phương trình thứ ba: $-2-t=-3t\Rightarrow t=1$. Vậy $P(2;1;1)$, $Q(0;0;-2)$ và $\overrightarrow{PQ}=(-2;-1;-3)\parallel (2;1;3)$. Đường thẳng qua $Q(0;0;-2)$ với vecto $(2;1;3)$: $\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Kiểm tra: đường này song song với $d_1$ (cùng vecto chỉ phương) và cắt $d_2$ tại $(2;1;1)$, cắt $d_3$ tại $(0;0;-2)$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;4;3)$, đi qua điểm $A(1;3;2)$. Đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}^{\prime }=(0;2;-1)$. Vì $\frac{3}{0},\frac{4}{2},\frac{3}{-1}$ không tỉ lệ nên $d$ và $d^{\prime }$ không song song. Thử giao điểm: điểm trên $d$ có dạng $(1+3s;3+4s;2+3s)$. Cho $x=4\Rightarrow s=1$, khi đó $y=7,z=5$. Điểm $(4;7;5)$ thuộc $d^{\prime }$ với $t=0$ (vì $y=7+2t=7\Rightarrow t=0$, $z=5-t=5$). Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(4;7;5)$.