Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $B$ và $C$; biết $BC=CD=D{D}^{\prime }=15$, $AB=30$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }D$. (Kết quả quy tròn đến hàng phần mười)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B(0;0;0)$, $C(15;0;0)$, $D(15;15;0)$, $A(0;30;0)$ (vì $AB\perp BC$, $CD\perp BC$ nên $AB\parallel CD$, $AB=30$); chiều cao lăng trụ $D{D}^{\prime }=15$ nên $z$-tọa độ các điểm trên $15$.

Đường thẳng $B^{\prime }{C}^{\prime }$: đi qua $B^{\prime }(0;0;15)$, vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;0;0)$.
Đường thẳng $A^{\prime }D$: đi qua $D(15;15;0)$, vectơ chỉ phương $\vec{v}=\overrightarrow{A^{\prime }D}=(15;-15;-15)\parallel (1;-1;-1)$.

$\vec{w}=\overrightarrow{B^{\prime }D}=(15;15;-15)$.
$\vec{u}\times \vec{v}=(0;1;-1)$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\sqrt{2}$.
$\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=15+15=30$.

Khoảng cách $d(B^{\prime }{C}^{\prime },A^{\prime }D)=\frac{30}{\sqrt{2}}=15\sqrt{2}\approx 21,2$.