Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+x+2025$ có đồ thị là $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$.

a) Vì $(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x$. Đúng.

b) $h(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{3}{x}^2-x+1+\frac{2025}{x}$ (với $x\ne 0$), nên $h^{\prime }(x)=\frac{2}{3}x-1-\frac{2025}{x^2}$. Tại $x=3$: $h^{\prime }(3)=2-1-\frac{2025}{9}=1-225=-224\ne 226$. Sai.

c) $f^{\prime }(x)=x+5\iff (x-1{)}^2=x+5\iff x^2-3x-4=0\iff x=4$ hoặc $x=-1$. Hai nghiệm trái dấu. Đúng.

d) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $a$: hệ số góc $m=(a-1{)}^2\ge 0$, phương trình $y=m(x-a)+f(a)=mx+b$ với $b=f(a)-ma$. Đường thẳng cắt hai trục tạo tam giác vuông cân khi và chỉ khi $|b|=\left|\frac{b}{m}\right|$ (cắt trục tại điểm khác gốc). Vì $b\ne 0$ nên cần $|m|=1$, tức $m=1$ (do $m\ge 0$), suy ra $(a-1{)}^2=1\Rightarrow a=0$ hoặc $a=2$.
Kiểm tra: với $a=0$, $b=f(0)=2025\ne 0$; với $a=2$, $b=f(2)-2=\frac{8}{3}-4+2+2025-2=2025+\frac{2}{3}-2\ne 0$. Vậy có đúng hai tiếp tuyến (tại $a=0$ và $a=2$) có hệ số góc bằng 1, tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(x)=\frac{2}{3}x-1-\frac{2025}{x^2}$, nên $h^{\prime }(3)=2-1-225=-224\ne 226$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(x-1{)}^2=x+5\iff x^2-3x-4=0\iff x=4$ hoặc $x=-1$: hai nghiệm trái dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến $y=mx+b$ tạo tam giác vuông cân với hai trục khi $|m|=1$ và $b\ne 0$. Vì $m=(a-1{)}^2\ge 0$ nên $m=1\Rightarrow a=0$ hoặc $a=2$, cả hai đều cho $b\ne 0$. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn.