Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chân hải đăng là $H(22;37;0)$, đỉnh tháp $I(22;37;55)$, người ở $M(6322;657;0)$. Người nhìn thấy ánh sáng khi khoảng cách từ người đó đến $I$ không vượt quá bán kính phủ sáng $R=4500$ m.

Đường đi là đoạn $MH$ với vectơ chỉ phương $\vec{d}=\overrightarrow{HM}=(6300;620;0)$, $|\vec{d}{|}^2=6300^2+620^2=40074400$. Vì $\overrightarrow{MI}=(-6300;-620;55)$ có thành phần ngang trùng với $\vec{d}$, chân đường vuông góc hạ từ $I$ xuống đường thẳng $MH$ chính là $H$, tức khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $MH$ bằng $55$ m (chiều cao tháp).

Gọi $P$ trên đoạn $MH$ với $PH=s$, khi đó $P{I}^2=s^2+55^2$. Người bắt đầu thấy sáng khi $PI=4500$:
$$s=\sqrt{4500^2-55^2}=\sqrt{20246975}\approx 4499,6639\text{ m}.$$

Quãng đường phải đi: $MP=MH-s$ với $MH=\sqrt{40074400}\approx 6330,4344$ m:
$$MP\approx 6330,4344-4499,6639=1830,7705\text{ m}.$$

Tốc độ người đi: $6,5\times 1852=12038$ m/giờ. Thời gian:
$$t=\frac{1830,7705}{12038}\approx 0,1521\approx 0,15\text{ giờ}.$$

Vậy người đó mất khoảng $0,15$ giờ để đến điểm đầu tiên nhìn thấy ánh sáng ngọn hải đăng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;2;3)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-1;-2;1)$ không cùng phương nên không song song hay trùng. Lấy $P(1;-1;0)\in {\Delta }_1$, $Q(3;3;-2)\in {\Delta }_2$, ta có $\overrightarrow{PQ}=(2;4;-2)$. Kiểm tra tính đồng phẳng: $\overrightarrow{PQ}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})$. Với $\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(8;-5;-2)$ thì $\overrightarrow{PQ}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})=16-20+4=0$, nên hai đường thẳng đồng phẳng, do đó chúng cắt nhau. Thử giải: ${\Delta }_1:(1+2t;-1+2t;3t)$, ${\Delta }_2:(3-s;3-2s;-2+s)$. Từ $1+2t=3-s$ và $-1+2t=3-2s$ suy ra $t=0,s=2$, khi đó $z$: $3t=0=-2+2$ thỏa mãn. Vậy ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ cắt nhau tại điểm $(1;-1;0)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của ${\Delta }_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(2;4;m-1)$, VTCP của ${\Delta }_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(4;-1;2)$. Hai đường thẳng vuông góc khi $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=0$: $2\cdot 4+4\cdot (-1)+2(m-1)=0\iff 8-4+2m-2=0\iff 2m+2=0\iff m=-1$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;1;4)$ và $\overrightarrow{u^{\prime }}=(3;-2;1)$ không cùng tỷ lệ nên không song song hay trùng nhau. Giải hệ: $1+2t=6+3s$, $7+t=-1-2s$, $3+4t=-2+s$. Từ hai phương trình đầu: $2t-3s=5$ và $t+2s=-8$, giải được $s=-3$, $t=-2$. Kiểm tra phương trình thứ ba: $3+4(-2)=-5$ và $-2+(-3)=-5$, thỏa mãn. Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(1+2(-2);7-2;3+4(-2))=(-3;5;-5)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$d$ có điểm $(1;2;0)$, vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;-2;1)$; $d^{\prime }$ có điểm $(0;-5;4)$, vecto chỉ phương ${\vec{u}}^{\prime }=(-2;3;1)$. Vì $\vec{u}$ không cùng phương với ${\vec{u}}^{\prime }$ nên hai đường không song song hay trùng nhau. Giả sử cắt nhau: hệ $1+2t=-2t^{\prime }$, $2-2t=-5+3t^{\prime }$, $t=4+t^{\prime }$. Từ $t=4+t^{\prime }$ suy ra $t^{\prime }=t-4$. Thay vào phương trình thứ nhất: $1+2t=-2(t-4)=-2t+8\Rightarrow 4t=7\Rightarrow t=7/4$, $t^{\prime }=-9/4$. Kiểm tra phương trình thứ hai: $2-2(7/4)=-3/2$ còn $-5+3(-9/4)=-47/4$, không bằng nhau. Vậy hệ vô nghiệm, hai đường thẳng chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của Δ là $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;2)$, của $d$ là $\overrightarrow{u_2}=(2;1;1)$. $\cos (\Delta ,d)=\frac{|1\cdot 2+(-1)\cdot 1+2\cdot 1|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, nên góc bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: ${\vec{u}}_{d_1}\cdot {\vec{u}}_{d_2}=1\cdot (-4)+(-2)\cdot 1+(-3)\cdot 5=-21$. Độ dài: $|{\vec{u}}_{d_1}|=\sqrt{14}$, $|{\vec{u}}_{d_2}|=\sqrt{42}$. Vậy $\cos (d_1,d_2)=\frac{21}{\sqrt{14}\sqrt{42}}=\frac{21}{\sqrt{588}}=\frac{21}{14\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng $30^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
d1 có điểm A1(1;2;-2), vecto chỉ phương u1=(2;1;5); d2 có điểm A2(1;2;1), vecto chỉ phương u2=(1;1;3).
a) Với d1: 1+2t=-1 → t=-1, khi đó điểm là (-1;1;-7) ≠ N(-1;0;-5), nên N không thuộc d1 (N thuộc d2 với s=-2). Vậy khẳng định 'đều đi qua N' là sai.
b) A1A2=(0;0;3); u1×u2=(1·3-5·1; 5·1-2·3; 2·1-1·1)=(-2;-1;1). Tích hỗn hợp [u1,u2]·A1A2 = 3≠0 nên d1, d2 chéo nhau, không đồng phẳng → sai.
c) cosθ=|u1·u2|/(|u1||u2|)=|2+1+15|/(√30·√11)=18/√330≈0,9909 → θ≈7,75° → đúng.
d) Đường Δ: x=1-2t, y=2-t, z=1+t có vecto chỉ phương (-2;-1;1)=u1×u2 nên vuông góc với cả u1 và u2. Kiểm tra cắt d1: hệ 1-2t=1+2s, 2-t=2+s, 1+t=-2+5s cho t=-1/2, s=1/2, điểm chung (2; 5/2; 1/2) thỏa cả hai. Kiểm tra cắt d2: 1-2t=1+s, 2-t=2+s, 1+t=1+3s cho t=0, s=0, điểm chung (1;2;1) thuộc d2. Vậy Δ cắt cả d1 và d2 và vuông góc với cả hai, tức là đường vuông góc chung → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay t=-1 vào d1 được điểm (-1;1;-7)≠N(-1;0;-5), nên N không thuộc d1 (N chỉ thuộc d2 với s=-2). Vậy khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
A1A2=(0;0;3); u1×u2=(-2;-1;1); tích hỗn hợp [u1,u2]·A1A2=3≠0 nên hai đường chéo nhau, không đồng phẳng.
c) (AI giải đề cho tôi)
cosθ=|u1·u2|/(|u1||u2|)=18/√330≈0,9909 nên θ≈7,75°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ có vecto chỉ phương (-2;-1;1)=u1×u2 vuông góc cả u1, u2. Giải với d1 được t=-1/2, s=1/2, điểm chung (2; 5/2; 1/2) thỏa cả hai. Giải với d2 được t=0, s=0, điểm chung (1;2;1) thuộc d2. Vậy Δ cắt cả d1 và d2 và vuông góc với cả hai, nên là đường vuông góc chung.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+4}{3}=\frac{y-5}{-4}=\frac{z+2}{1}$ đi qua điểm $P(-4;5;-2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(3;-4;1)$.
a) Thay $M(3;-4;1)$: $\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}$, $\frac{-4-5}{-4}=\frac{9}{4}$, $\frac{1+2}{1}=3$ — ba tỉ số không bằng nhau nên $M\notin d$. Sai.
b) ${\vec{u}}_1=(-3;4;-1)=-\vec{u}$ cùng phương với $\vec{u}$ nên là một vectơ chỉ phương của $d$. Đúng.
c) $\Delta$ có ${\vec{u}}_{\Delta }=(3;-4;1)$ cùng phương với $\vec{u}$ và đi qua điểm $(-4;5;-2)$ chính là điểm trên $d$, nên $\Delta \equiv d$ (trùng nhau), không phải song song. Sai.
d) ${\Delta }^{\prime }:\frac{x+4}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z+1}{1}$ đi qua $(-4;-1;-1)$, vectơ chỉ phương $(3;-4;1)$ cùng phương với $d$ và không chứa điểm chung với $d$ (điểm $(-4;-1;-1)\notin d$ vì $\frac{-1-5}{-4}=\frac{3}{2}\ne 0=\frac{-1+2}{1}$), nên ${\Delta }^{\prime }$ song song $d$. Kiểm tra cắt $d_1$: $d_1:(1+s;-1+s;2+2s)$, giải hệ với ${\Delta }^{\prime }:(-4+3t;-1-4t;-1+t)$ được $t=\frac{1}{3},s=-\frac{4}{3}$, thỏa cả ba phương trình → cắt $d_1$ tại $\left(-3;\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$. Kiểm tra cắt $d_2$: $d_2:(-2+2s;3+4s;s)$, giải với ${\Delta }^{\prime }$ được $t=0,s=-1$, thỏa mọi phương trình → cắt $d_2$ tại $(-4;-1;-1)$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;-4;1)$ vào $d$: $\frac{7}{3}\ne \frac{9}{4}\ne 3$ nên $M\notin d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(-3;4;-1)=-1\cdot (3;-4;1)$ cùng phương với vectơ chỉ phương $(3;-4;1)$ của $d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ có cùng vectơ chỉ phương và đi qua điểm $(-4;5;-2)\in d$ nên $\Delta \equiv d$ (trùng nhau), không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }^{\prime }$ song song với $d$, cắt $d_1$ tại $\left(-3;\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$ và cắt $d_2$ tại $(-4;-1;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm thuộc đường $b$ có dạng $(1+4k;2+2k;6)$, điểm thuộc đường $a$ có dạng $(1;2;3t)$. Tại giao điểm: $1+4k=1\Rightarrow k=0$; $2+2k=2\Rightarrow k=0$ (hai phương trình cho cùng giá trị $k=0$, thỏa mãn). Khi đó $z=6$, nên $3t=6\Rightarrow t=2$. Vậy giao điểm là $M(1;2;6)$, tức $a=1,b=2,c=6$ và $S=a+b+c=1+2+6=9$. Hình minh họa máy khoan ở trang 17 chỉ mang tính minh họa, không ảnh hưởng đến lời giải.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0,0,0)$, $B=(2a,0,0)$, $D=(0,0,2a)$ vì $\widehat{DAB}=90^{\circ }$, $AD=2a$.

Vì $\widehat{ABC}=90^{\circ }$ nên $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AB}$, suy ra $C=(2a,y,z)$ với $\overrightarrow{BC}=(0,y,z)$.

Góc giữa $AD$ (hướng $(0,0,1)$) và $BC$ bằng $45^{\circ }$: $\frac{|z|}{\sqrt{y^2+z^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow y^2=z^2$.

Điều kiện $CD=2a\sqrt{2}$: $|C-D{|}^2=4a^2+y^2+(z-2a{)}^2=8a^2$. Với $y^2=z^2=4a^2$: $4a^2+4a^2+(z-2a{)}^2=8a^2\Rightarrow z=2a$, do đó $y=2a$.

Vậy $C=(2a,2a,2a)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{BC}=(0,2a,2a)$, $|BC|=2a\sqrt{2}$, góc với $AD$ bằng $45^{\circ }$; $\overrightarrow{CD}=(2a,2a,0)$, $|CD|=2a\sqrt{2}$ — thỏa mọi giả thiết.

Khoảng cách giữa $AC$ (hướng ${\vec{u}}_1=(1,1,1)$) và $BD$ (hướng ${\vec{u}}_2=(-1,0,1)$):
$${\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2=(1,-2,1),|{\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2|=\sqrt{6}.$$
$$h=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot ({\vec{u}}_1\times {\vec{u}}_2)|}{\sqrt{6}}=\frac{|(2a,0,0)\cdot (1,-2,1)|}{\sqrt{6}}=\frac{2a}{\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{2k}}{k}.$$

So sánh: $2k=6\Rightarrow k=3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;3a)$. Ta có $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{SB}=(a;0;-3a)$. Tích có hướng: $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB}=(-3a^2;3a^2;-a^2)$, độ dài $a^2\sqrt{19}$. Lấy $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, khi đó $d(AC,SB)=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB})|}{|\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB}|}=\frac{3a^3}{a^2\sqrt{19}}=\frac{3a}{\sqrt{19}}=\frac{3a\sqrt{19}}{19}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(\sqrt{3};0;0)$, $D(0;2\sqrt{3};0)$, $C(\sqrt{3};\sqrt{3};0)$ (đáy là hình thang vuông tại $A$, $B$ với $AD\parallel BC$), và $S(0;0;\sqrt{3})$ vì $SA\perp (ABCD)$, $SA=\sqrt{3}$.

Ta có $\overrightarrow{SB}=(\sqrt{3};0;-\sqrt{3})$, $\overrightarrow{CD}=(-\sqrt{3};\sqrt{3};0)$.

Tích có hướng: $\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{CD}=(3;3;3)$, độ dài $=3\sqrt{3}$.

$\overrightarrow{SC}=(\sqrt{3};\sqrt{3};-\sqrt{3})$, nên $\overrightarrow{SC}\cdot (\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{CD})=3+3-3=3$.

Khoảng cách giữa $SB$ và $CD$: $d=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
AB nhỏ nhất chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d_1,d_2$. Ta có $d_1$ đi qua $P_1(2;2;0)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;1;-1)$; $d_2$ đi qua $P_2(2;-1;0)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1;2;-3)$. Tính $\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(-1;2;1)$, $\left|\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}\right|=\sqrt{6}$. Lại có $\overrightarrow{P_1{P}_2}=(0;-3;0)$ nên $\mathrm{d}(d_1,d_2)=\frac{\left|\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}\right|}=\frac{|0\cdot (-1)+(-3)\cdot 2+0\cdot 1|}{\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}\approx 2,45$. Vậy độ dài $AB$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{6}\approx 2,45$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(1;-2;2). b) Đúng: MN = N−M = (−3;2;−4), phương trình chính tắc (x−1)/(−3)=(y−1)/2=(z−2)/(−4), nhân tử số và mẫu với −1 được (x−1)/3=(y−1)/(−2)=(z−2)/4. c) Đúng: hai vectơ chỉ phương (1;−2;2) và (−3;2;−4) không cùng phương; giải hệ phương trình tham số: từ 2+t=1−3s và 1−2t=1+2s được s=−1/2, t=1/2, nhưng thay vào phương trình thứ ba: −3+2(1/2)=−2 ≠ 2−4(−1/2)=4, nên hai đường thẳng không cắt, không song song → chéo nhau. d) Sai: cos góc = |1·(−3)+(−2)·2+2·(−4)|/(√9·√29) = 15/(3√29) = 5/√29 = 5√29/29 ≈ 0,928, khác 5√21/7 (giá trị này lớn hơn 1, vô lý).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương u=(1;-2;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
MN=(-3;2;-4), VTPT (3;-2;4) cùng phương nên phương trình đã cho đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ chỉ phương không cùng phương; hệ phương trình tham số vô nghiệm (s=-1/2, t=1/2 không thỏa phương trình z), nên Δ và MN chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos = 15/(3√29) = 5√29/29 ≈ 0,928 ≠ 5√21/7 (giá trị >1 vô lý).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: Từ phương trình tham số của Δ, đường thẳng đi qua điểm (2;1;-1) và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(3;2;1)$.
b) Sai: Giải hệ $2+3t=-1+s$ và $1+2t=2-s$ ta được $t=-\frac{2}{5}$, $s=\frac{9}{5}$. Thay vào phương trình z: $-1+t=-1-\frac{2}{5}=-\frac{7}{5}$ còn $3+2s=3+\frac{18}{5}=\frac{33}{5}$, không bằng nhau nên hai đường thẳng chéo nhau, không cắt nhau.
c) Đúng: $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(3;2;1)$, $\overrightarrow{u_{{\Delta }^{\prime }}}=(1;-1;2)$ nên $\cos (\Delta ,{\Delta }^{\prime })=\frac{|3\cdot 1+2\cdot (-1)+1\cdot 2|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.
d) Đúng: d đi qua $A(-3;2;2)$ và song song với Δ nên nhận vecto chỉ phương $(3;2;1)$, phương trình $\frac{x+3}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-2}{1}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của Δ, đường thẳng đi qua điểm (2;1;-1) và có vecto chỉ phương (3;2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giải 2+3t=-1+s và 1+2t=2-s được t=-2/5, s=9/5. Kiểm tra z: -1+t=-7/5 còn 3+2s=3+18/5=33/5, không bằng nhau nên Δ, Δ' chéo nhau, không cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
cos(Δ,Δ')=|u·u'|/(|u||u'|)=|3-2+2|/(√14·√6)=3/(2√21)=√21/14.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
d đi qua A(-3;2;2) và song song với Δ nên nhận vecto chỉ phương (3;2;1), phương trình (x+3)/3=(y-2)/2=(z-2)/1.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $B^{\prime }(a,0,a)$, $D^{\prime }(0,a,a)$. Đường thẳng $A{B}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1,0,1)$, đường thẳng $C{D}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-1,0,1)$. Lấy $\overrightarrow{CA}=(-a,-a,0)$. Ta có $\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(0,-2,0)$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: $d(A{B}^{\prime },C{D}^{\prime })=\frac{|\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2})|}{|\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}|}=\frac{|2a|}{2}=a$. Vậy đáp án B. Cách khác: $A{B}^{\prime }\parallel D^{\prime }C$ nên khoảng cách giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{D}^{\prime }$ bằng khoảng cách từ $D^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }C)$, tính được cũng bằng $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường đi của tàu A có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_A}=(-33;25)$, của tàu B là $\overrightarrow{u_B}=(-30;-40)$. Tính $\cos (\overrightarrow{u_A},\overrightarrow{u_B})=\frac{(-33)(-30)+25(-40)}{\sqrt{33^2+25^2}\sqrt{30^2+40^2}}=\frac{990-1000}{\sqrt{1714}\cdot 50}=\frac{-10}{50\sqrt{1714}}\approx -0,004832$. Suy ra góc giữa hai vectơ $\approx 90,277^{\circ }$, góc giữa hai đường thẳng là $180^{\circ }-90,277^{\circ }\approx 89,7^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn 89,7.

(AI giải đề cho tôi)
Đường bay của Alpha đi qua $A(10;6;0)$ với vecto chỉ phương ${\vec{u}}_1=\overrightarrow{AD}=(-6;-9;3)$, đường bay của Beta đi qua $T(7;-8;3)$ với vecto chỉ phương ${\vec{u}}_2=\overrightarrow{TB}=(-3;24;-3)$.

Phương trình tham số:
$$\text{Alpha: }\{\begin{array}{l}x=10-6t\\ y=6-9t\\ z=3t\end{array},\text{Beta: }\{\begin{array}{l}x=7-3s\\ y=-8+24s\\ z=3-3s\end{array}$$

Giải hệ để tìm giao điểm $S$: từ $3t=3-3s\Rightarrow t+s=1$; từ $10-6t=7-3s\Rightarrow 2t-s=1$. Suy ra $t=\frac{2}{3},s=\frac{1}{3}$ (thỏa mãn phương trình còn lại: $9\cdot \frac{2}{3}+24\cdot \frac{1}{3}=14$). Vậy $S(6;0;2)$.

Khoảng cách:
$$AS=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\sqrt{36+81+9}=2\sqrt{14}\approx 7,4833\text{ km}$$
$$TS=\frac{1}{3}TB=\frac{1}{3}\sqrt{9+576+9}=\sqrt{66}\approx 8,1240\text{ km}$$

Thời gian Alpha tới $S$: $\frac{2\sqrt{14}}{300}\cdot 3600\approx 89,80$ giây.
Thời gian Beta tới $S$: $\frac{\sqrt{66}}{350}\cdot 3600\approx 83,56$ giây.

Beta đi qua $S$ trước Alpha một khoảng thời gian:
$$\Delta t\approx 89,80-83,56=6,24\approx 6,2\text{ giaˆy}$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn $6,2$ (bảng đáp án mã đề 211, Phần III, câu 16 = 6,2).

(AI giải đề cho tôi)
Đường bay Alpha qua $A(10;6;0)$ với vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{AD}=(-6;-9;3)\sim (-2;-3;1)$: $\{\begin{array}{l}x=10-2t\\ y=6-3t\\ z=t\end{array}$. Đường bay Beta qua $T(7;-8;3)$ với $\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{TB}=(-3;24;-3)\sim (-1;8;-1)$: $\{\begin{array}{l}x=7-s\\ y=-8+8s\\ z=3-s\end{array}$. Giao điểm: $10-2t=7-s\Rightarrow s=2t-3$; $6-3t=-8+8s\Rightarrow 14-3t=16t-24\Rightarrow t=2,s=1$ (thỏa $z$: $2=3-1$). Vậy $S(6;0;2)$. Khoảng cách $AS=2\sqrt{14}$ km, thời gian Alpha tới $S$: $\frac{2\sqrt{14}}{300}\cdot 3600=24\sqrt{14}\approx 89,80$ giây. Khoảng cách $TS=\sqrt{66}$ km, thời gian Beta tới $S$: $\frac{\sqrt{66}}{350}\cdot 3600=\frac{72\sqrt{66}}{7}\approx 83,56$ giây. Beta đi qua $S$ trước khoảng $24\sqrt{14}-\frac{72\sqrt{66}}{7}\approx 6,2$ giây.