Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng bay qua $A(-500;-300;500)$ và $B(-200;-200;450)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(300;100;-50)$. Điểm $H$ trên đường thẳng gần $O$ nhất thỏa $\overrightarrow{AH}=t\vec{u}$ với $t=-\frac{A\cdot \vec{u}}{|\vec{u}{|}^2}$. Ta có $A\cdot \vec{u}=(-500)(300)+(-300)(100)+(500)(-50)=-205000$ và $|\vec{u}{|}^2=90000+10000+2500=102500$, nên $t=\frac{205000}{102500}=2$. Suy ra $H=A+2\vec{u}=(100;-100;400)$, tức $(a;b;c)=(100;-100;400)$. Khi đó $P=a+2b+c=100+2(-100)+400=300$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (300).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(-7;0;1) vào Δ2: (x-7)/3 = (-14)/3 ≠ y/1 = 0, nên M không thuộc Δ2 → Sai. b) Δ1 có VTCP u1=AB=(1;-1;2), Δ2 có VTCP u2=(3;1;-1). Vectơ A đến điểm P(7;0;-1) trên Δ2: AP=(5;-1;-2). [u1,u2]=(-1;7;4), AP·[u1,u2]=-5-7-8=-20≠0 nên Δ1, Δ2 chéo nhau (không cắt, không song song) → hai đường ở cao độ khác nhau, nút giao khác mức → Đúng. c) AB=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2) là VTCP của Δ1 → Đúng. d) Δ1 qua B(3;0;3) với VTCP (1;-1;2): (x-3)/1 = y/(-1) = (z-3)/2 → Đúng. Khớp đáp án đề (4a S, 4b D, 4c D, 4d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(-7;0;1): (x-7)/3 = -14/3 ≠ 0 = y/1, nên M không thuộc Δ2.
b) (AI giải đề cho tôi)
u1=(1;-1;2), u2=(3;1;-1), AP=(5;-1;-2) với P(7;0;-1)∈Δ2. [u1,u2]=(-1;7;4) và u1·[u1,u2]=-1-7+8=0, AP·[u1,u2]=-5-7-8=-20≠0 nên hai đường chéo nhau, không giao nhau ở cùng điểm → nút giao khác mức.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2) là vectơ chỉ phương của Δ1.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ1 qua B(3;0;3), VTCP (1;-1;2): (x-3)/1 = y/(-1) = (z-3)/2.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2)$, đúng là vecto chỉ phương của ${\Delta }_1$, khẳng định đúng. b) Thay $M(-7;0;1)$ vào ${\Delta }_2$: $\frac{-7-7}{3}=-\frac{14}{3}\ne 0=\frac{0}{1}$, nên $M\notin {\Delta }_2$, khẳng định sai. c) ${\Delta }_1$ đi qua $B(3;0;3)$ với vecto chỉ phương $(1;-1;2)$ nên $\frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{2}$, đúng. d) Hai vecto chỉ phương $(1;-1;2)$ và $(3;1;-1)$ không tỉ lệ. Tham số hóa: ${\Delta }_1:(2+t;1-t;1+2t)$, ${\Delta }_2:(7+3s;s;-1-s)$. Từ $1-t=s$ và $2+t=7+3s$ được $t=2,s=-1$; kiểm tra $z$: $1+2\cdot 2=5\ne -1-(-1)=0$, vô nghiệm. Vậy ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$ chéo nhau, không cắt nhau nên nút giao là nút giao khác mức, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2;0-1;3-1)=(1;-1;2)$, đúng là một vecto chỉ phương của ${\Delta }_1$. Khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(-7;0;1)$: $\frac{-7-7}{3}=-\frac{14}{3}\ne \frac{0}{1}$ nên $M\notin {\Delta }_2$. Khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }_1$ qua $B(3;0;3)$, vecto chỉ phương $(1;-1;2)$ nên phương trình chính tắc là $\frac{x-3}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-3}{2}$. Khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau (hệ phương trình vô nghiệm, vecto chỉ phương không tỉ lệ) nên chúng không cắt nhau ở cùng cao độ: nút giao khác mức. Khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có các vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-1)$ và $\overrightarrow{u_2}=(3;3;9)$. Cosin của góc giữa hai đường thẳng là $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|2\cdot 3+1\cdot 3+(-1)\cdot 9|}{\sqrt{4+1+1}\cdot \sqrt{9+9+81}}=\frac{|6+3-9|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{99}}=\frac{0}{\sqrt{594}}=0$. Vậy hai đường thẳng vuông góc, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $D(0;2;0)$, $S(0;0;4)$. Đường thẳng $BD$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1;0)$, đường thẳng $SC$ có $\vec{v}=(2;2;-4)$. Lấy điểm $B(2;0;0)$ trên $BD$ và $S(0;0;4)$ trên $SC$, ta có $\overrightarrow{SB}=(2;0;-4)$. Vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=(4;4;4)$, $|\vec{n}|=4\sqrt{3}$. Khoảng cách: $d(BD,SC)=\frac{|\overrightarrow{SB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|8+0-16|}{4\sqrt{3}}=\frac{8}{4\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,1547$. Vậy khoảng cách giữa $BD$ và $SC$ xấp xỉ $1,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $E(0;0;0)$, $F(3a;0;0)$, $H(0;4a;0)$, $E^{\prime }(0;0;12a)$. Khi đó $F^{\prime }(3a;0;12a)$, $G(3a;4a;0)$, $H^{\prime }(0;4a;12a)$. Hai đường thẳng $E{F}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(3;0;12)$ và $G{H}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(-3;0;12)$ là hai đường chéo chéo nhau. Vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(0;-72;0)$, do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách từ $G$ đến $E{F}^{\prime }$ theo phương $\vec{n}$: $d=\frac{|\overrightarrow{EG}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|3a\cdot 0+4a\cdot (-72)+0|}{72}=\frac{288a}{72}=4a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
$(d_1)$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-2;1;-1)$, đi qua điểm $P_1(2;2;-1)$; $(d_2)$ có $\overrightarrow{u_2}=(2;1;1)$, đi qua $P_2(2;1;1)$. Vì $\frac{-2}{2}\ne \frac{1}{1}$ nên $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}$ không cùng phương, hai đường không song song hay trùng nhau. Giả sử chúng cắt nhau: $2-2t=2+2s\Rightarrow t=-s$; $2+t=1+s\Rightarrow t=s-1$. Suy ra $-s=s-1\Rightarrow s=\frac{1}{2},t=-\frac{1}{2}$. Kiểm tra phương trình $z$: với $(d_1)$: $z=-1-(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$; với $(d_2)$: $z=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Vì $-\frac{1}{2}\ne \frac{3}{2}$ nên hệ vô nghiệm, hai đường không cắt nhau. Vậy hai đường thẳng chéo nhau, đáp án B (khớp với đáp án mã 102: Câu 3 = B).

(AI giải đề cho tôi)
$(d_1)$ đi qua $P(2;2;-1)$ với VTCP $\overrightarrow{u_1}=(-2;1;-1)$; $(d_2)$ đi qua $Q(2;1;-1)$ với VTCP $\overrightarrow{u_2}=(2;1;1)$. Vì $\frac{-2}{2}\ne \frac{1}{1}$ nên hai đường không song song. Giao điểm: cho $x_{d_1}=x_{d_2}$: $2-2t=2+2s\Rightarrow t=-s$; $y$: $2+t=1+s\Rightarrow t=s-1$. Suy ra $-s=s-1\Rightarrow s=\frac{1}{2},t=-\frac{1}{2}$. Kiểm tra $z$: $-1-t=-\frac{1}{2}$ và $-1+s=-\frac{1}{2}$, thỏa mãn. Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $\left(3;\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục toạ độ: $B=(0;0;0)$, $A=(2;0;0)$ (trục $AB$ là trục $Ox$), $C=(0;\sqrt{3};0)$ vì $△ABC$ vuông tại $B$, $BC=\sqrt{3}$. Vì $△ABD$ đều cạnh 2 nên $D=(1;y;z)$ với $y^2+z^2=3$ (do $BD=2$). Viết $y=\sqrt{3}\cos \theta ,z=\sqrt{3}\sin \theta$.

Khoảng cách giữa $AB$ (vt $\vec{u}=(1;0;0)$) và $CD$ (vt $\vec{v}=\overrightarrow{CD}=(1;y-\sqrt{3};z)$), với $\overrightarrow{AC}=(-2;\sqrt{3};0)$:
$$d(AB,CD)=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}=\frac{\sqrt{3}|z|}{\sqrt{z^2+(y-\sqrt{3}{)}^2}}.$$
Ta có $z^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=3{\sin }^2\theta +3(\cos \theta -1{)}^2=6(1-\cos \theta )$ và $z^2=3{\sin }^2\theta =3(1-\cos \theta )(1+\cos \theta )$, nên
$$d^2=\frac{3\cdot 3(1-{\cos }^2\theta )}{6(1-\cos \theta )}=\frac{3}{2}(1+\cos \theta ).$$
Theo giả thiết $d=\frac{\sqrt{11}}{2}$ nên $\frac{3}{2}(1+\cos \theta )=\frac{11}{4}\Rightarrow \cos \theta =\frac{5}{6}$ (thỏa mãn), suy ra $y=\frac{5\sqrt{3}}{6},z=\frac{\sqrt{33}}{6}$ (chọn $z>0$).

Tính $CD$: $C{D}^2=|\vec{v}{|}^2=1+(y-\sqrt{3}{)}^2+z^2=1+6(1-\cos \theta )=1+6\cdot \frac{1}{6}=2\Rightarrow CD=\sqrt{2}$.

Góc nhị diện $[C,AB,D]$: chiếu của $C$ và $D$ lên mặt phẳng vuông góc với $AB$ lần lượt là $(0;\sqrt{3};0)$ và $\left(0;\frac{5\sqrt{3}}{6};\frac{\sqrt{33}}{6}\right)$, nên
$$\cos [C,AB,D]=\frac{\frac{5\sqrt{3}}{6}}{\sqrt{\frac{75}{36}+\frac{33}{36}}}=\frac{5\sqrt{3}/6}{\sqrt{3}}=\frac{5}{6}.$$

Kiểm tra lại: $\vec{u}\times \vec{v}=(0;-z;y-\sqrt{3})$, $\overrightarrow{AC}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=-\sqrt{3}z$, mọi bước tính đều nhất quán.

Kết luận: $CD=\sqrt{2}$ và $\cos [C,AB,D]=\frac{5}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(13;0;0)$, $D(0;13;0)$, $C(13;13;0)$, $O(6,5;6,5;0)$, $S(0;0;h)$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}=60^{\circ }$, suy ra $h=SA=AB\tan 60^{\circ }=13\sqrt{3}$. Đường thẳng $AB$ có vecto chỉ phương $\vec{u}=(1;0;0)$, đường thẳng $SO$ có vecto chỉ phương $\vec{v}=(6,5;6,5;-13\sqrt{3})$, vecto $\vec{w}=\overrightarrow{AO}=(6,5;6,5;0)$. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d(AB,SO)=\frac{|\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}$. Ta có $\vec{u}\times \vec{v}=(0;13\sqrt{3};6,5)$, $|\vec{u}\times \vec{v}|=\sqrt{507+42,25}=\sqrt{549,25}\approx 23,4354$, và $\vec{w}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=6,5\cdot 13\sqrt{3}\approx 146,358$. Vậy $d\approx \frac{146,358}{23,4354}\approx 6,245\approx 6,2cm$, khớp với đáp án đề cho.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $S(0;0;3)$. Ta có $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{SB}=(1;0;-3)$. Vecto pháp tuyến chung: $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB}=(-3;3;-1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}$. Lấy $\overrightarrow{AB}=(1;0;0)$, khoảng cách $d(AC,SB)=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{19}}\approx 0,6882\approx 0,69$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,69.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $S(0;0;3)$.

$\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{SB}=(1;0;-3)$.

VTPT của $(AC,SB)$: $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB}=(-3;3;-1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{9+9+1}=\sqrt{19}$.

Lấy $A\in AC$, $S\in SB$, $\overrightarrow{AS}=(0;0;3)$.

Khoảng cách: $d(AC,SB)=\frac{|\overrightarrow{AS}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|-3|}{\sqrt{19}}=\frac{3}{\sqrt{19}}\approx 0,6882\approx 0,69$.

Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,69.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình lập phương là $a$. Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A^{\prime }(0,0,a),C^{\prime }(a,a,a)$. Đường thẳng $BD$ có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(-1,1,0)$, đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ có $\overrightarrow{u_2}=(1,1,0)$. Véc-tơ pháp tuyến chung $\vec{n}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(0,0,-2)$. Lấy $P=B(a,0,0)\in BD$, $Q=A^{\prime }(0,0,a)\in A^{\prime }{C}^{\prime }$, khi đó $\overrightarrow{PQ}=(-a,0,a)$. Khoảng cách $$d(BD,A^{\prime }{C}^{\prime })=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|-2a|}{2}=a.$$ Về hình học: $\vec{n}=(0,0,1)$ chính là phương thẳng đứng, tức vuông góc chung với cả $BD$ (nằm trong mặt phẳng đáy) và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (nằm trong mặt phẳng trên), nên khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy, bằng cạnh $a=C{C}^{\prime }$. Vậy $d(BD,A^{\prime }{C}^{\prime })=C{C}^{\prime }$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 12: C). Lưu ý: không thể dùng khoảng cách từ $C^{\prime }$ đến mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ vì $A^{\prime }{C}^{\prime }$ không song song mà cắt mặt phẳng đó tại tâm hình lập phương; véc-tơ vuông góc chung có phương thẳng đứng nên kết quả đúng là $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-2)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-2;-1;2)=-\overrightarrow{u_1}$, nên ${\Delta }_1\parallel {\Delta }_2$ hoặc trùng nhau. Lấy điểm $A_1(1;0;-2)\in {\Delta }_1$ và $A_2(-2;1;0)\in {\Delta }_2$, ta có $\overrightarrow{A_1{A}_2}=(-3;1;2)$. Kiểm tra: $\frac{-3}{2}\ne \frac{1}{1}$, tức $\overrightarrow{A_1{A}_2}$ không cùng phương với $\overrightarrow{u_1}$, nên $A_1\notin {\Delta }_2$. Vậy hai đường thẳng song song (không trùng nhau). Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1033, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;1;-2)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-2;-1;2)=-\overrightarrow{u_1}$, nên chúng song song hoặc trùng nhau. Điểm $P(1;0;-2)\in {\Delta }_1$. Thay vào ${\Delta }_2$: $\frac{1+2}{-2}=-\frac{3}{2}\ne \frac{0-1}{-1}=1$, nên $P\notin {\Delta }_2$. Vậy hai đường thẳng song song (không trùng nhau). Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có điểm đi qua $(1;0;-1)$ và vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(1;1;2)$; đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua $(2;1;1)$ với vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{d^{\prime }}=(1;1;-1)$.
a) Với $t=0$: $d$ đi qua $(1;0;-1)$, đúng là điểm $A(1;0;-1)$ nên A thuộc $d$ → Đúng.
b) Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;2)$ → Đúng.
c) ${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{d^{\prime }}=1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$. Mệnh đề 'd' không vuông góc với d' → Sai.
d) Giải hệ: $1+t=2+s$, $t=1+s$, $-1+2t=1-s$ cho $s=0,t=1$, hai đường cắt nhau tại $(2;1;1)$, nên không chéo nhau → Sai.
Kết quả: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai, khớp đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=0$, $d$ đi qua $(1;0;-1)$ nên điểm $A(1;0;-1)$ thuộc $d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{u}}_d\cdot {\vec{u}}_{d^{\prime }}=(1;1;2)\cdot (1;1;-1)=1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$; do đó mệnh đề 'không vuông góc' là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình hai đường thẳng được $s=0,t=1$, chúng cắt nhau tại điểm $(2;1;1)$ nên không chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn (từ $0^{\circ }$ đến $90^{\circ }$), nên côsin của góc này bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vecto chỉ phương: $\cos (d,d^{\prime })=\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}|}{|\vec{u}||\overrightarrow{u^{\prime }}|}=\frac{|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$. Phương án A thiếu giá trị tuyệt đối; C sai mẫu số (tổng thay tích); D sai mẫu số (thiếu bình phương). Đáp án khớp với mã đề 104, câu 3: B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=(1;1;2)$, đường thẳng $d^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=(1;1;-1)$.
e) Thay $A(1;1;2)$ vào $d$: $x=1+t=1\Rightarrow t=0$, khi đó $y=0\ne 1$. Vậy $A$ không thuộc $d$ → Sai.
f) Vectơ chỉ phương của $d$ là $(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$ → Sai.
g) $\overrightarrow{u_d}\cdot \overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$ → Đúng.
h) Giải hệ: $1+t=2+s$, $t=1+s$, $-1+2t=1-s$. Từ hai phương trình đầu suy ra $t=1+s$ (thỏa mãn). Thay vào: $-1+2(1+s)=1-s\Rightarrow 1+2s=1-s\Rightarrow s=0,t=1$. Giao điểm là $(2;1;1)$, tồn tại → hai đường cắt nhau → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: e) Sai; f) Sai; g) Đúng; h) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;1;2)$ vào $d$: $t=0$ từ $x=1+t=1$ nhưng khi đó $y=t=0\ne 1$. Vậy $A$ không thuộc $d$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_d}=(1;1;2)$, $\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=(1;1;-1)$, tích vô hướng $1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình tham số được $t=1,s=0$, giao điểm $(2;1;1)$ tồn tại duy nhất nên $d$ và $d^{\prime }$ cắt nhau → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn hoặc vuông, nên côsin của nó không âm. Do đó $\cos (d,d^{\prime })=\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}|}{|\vec{u}||\overrightarrow{u^{\prime }}|}=\frac{|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$. Phương án A thiếu giá trị tuyệt đối; B sai mẫu số (tổng thay vì tích); D sai căn thức. Đáp án khớp với mã đề 103, câu 4: C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng d có phương trình tham số x=1+t, y=t, z=-1+2t nên một vectơ chỉ phương là u=(1;1;2). Đúng.
b) Thay t=0 vào d ta được điểm (1;0;-1), nên điểm A(1;0;-1) thuộc d. Đúng.
c) d có vectơ chỉ phương u=(1;1;2) qua điểm (1;0;-1); d' có vectơ chỉ phương u'=(1;1;-1) qua điểm (2;1;1). Giải hệ: 1+t=2+s, t=1+s, -1+2t=1-s. Từ hai phương trình đầu suy ra s=t-1 (phù hợp), thay vào phương trình cuối: -1+2t=1-(t-1)=2-t ⟹ 3t=3 ⟹ t=1, s=0. Vậy d và d' cắt nhau tại điểm (2;1;1), do đó chúng KHÔNG chéo nhau. Mệnh đề 'chéo nhau' là Sai.
d) Ta có u·u' = 1·1 + 1·1 + 2·(-1) = 0, nên d' vuông góc với d. Mệnh đề 'd' không vuông góc với d' là Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của d, hệ số của t cho vectơ chỉ phương u=(1;1;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Với t=0, d đi qua điểm (1;0;-1) nên A(1;0;-1) thuộc d.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình hai đường thẳng được t=1, s=0, chúng cắt nhau tại (2;1;1), nên không chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
u·u' = 1+1-2 = 0 nên d' vuông góc với d; mệnh đề 'không vuông góc' sai.