Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn hoặc vuông, nên côsin của góc này là giá trị không âm. Ta có $\cos (d,d^{\prime })=\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}|}{|\vec{u}||\overrightarrow{u^{\prime }}|}=\frac{|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$. Do đó đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
d có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;2)$ (theo hệ số của $t$). a) Sai vì $(1;0;2)$ không là vectơ chỉ phương của $d$. b) Với $A(1;1;2)$: từ $y=t=1$ suy ra $x=1+t=2\ne 1$, nên $A\notin d$ → Sai. c) $d^{\prime }$ có $\overrightarrow{u^{\prime }}=(1;1;-1)$ qua điểm $(2;1;1)$. Hệ: $1+t=2+s$, $t=1+s$, $-1+2t=1-s$. Từ hai phương trình sau: $1+2s=1-s\Rightarrow s=0,t=1$, thỏa phương trình đầu. Hai đường thẳng cắt nhau tại $(2;1;1)$ → Đúng. d) $\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$ → Đúng. Khớp đáp án nguồn: Đ S Đ Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $y=1\Rightarrow t=1\Rightarrow x=1+t=2\ne 1$, nên $A(1;1;2)\notin d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình hai đường thẳng được $t=1,s=0$, giao điểm $(2;1;1)$, nên $d,d^{\prime }$ cắt nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=(1)(1)+(1)(1)+(2)(-1)=0$ nên $d\perp d^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Cô sin góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng giá trị tuyệt đối của cô sin góc giữa hai vecto chỉ phương: $\cos (d,d^{\prime })=\frac{\left|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}\right|}{\Vert \vec{u}\Vert \Vert \overrightarrow{u^{\prime }}\Vert }=\frac{\left|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$. Dấu tuyệt đối cần thiết vì góc giữa hai đường thẳng thuộc $\left[0^{\circ };90^{\circ }\right]$. Điều này khớp đáp án C và cũng khớp bảng đáp án (đề 101, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(6;6;0)$, $D(0;6;0)$, $S(0;0;h)$. Vì $SC=6\sqrt{5}$: $S{C}^2=S{A}^2+A{C}^2=h^2+72=180\Rightarrow h^2=108\Rightarrow h=6\sqrt{3}$. Suy ra $M(0;0;3\sqrt{3})$, $N(3;6;0)$.

Hai vectơ chỉ phương: $\vec{u}=\overrightarrow{DB}=(6;-6;0)$ (lấy $(1;-1;0)$) và $\vec{v}=\overrightarrow{MN}=(3;6;-3\sqrt{3})$.

$\vec{u}\times \vec{v}=(3\sqrt{3};3\sqrt{3};9)$, độ dài $|\vec{u}\times \vec{v}|=\sqrt{27+27+81}=\sqrt{135}=3\sqrt{15}$.

Lấy điểm $B$ trên $BD$: $\overrightarrow{BN}=(-3;6;0)$. Khi đó:
$$d(BD,MN)=\frac{|\overrightarrow{BN}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})|}{|\vec{u}\times \vec{v}|}=\frac{|-9\sqrt{3}+18\sqrt{3}|}{3\sqrt{15}}=\frac{9\sqrt{3}}{3\sqrt{15}}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}\approx 1,34.$$

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(10;0;0)$, $C(10;10;0)$, $D(0;10;0)$, $S(0;0;h)$. Vì $SC=10\sqrt{5}$: $S{C}^2=100+100+h^2=500\Rightarrow h^2=300\Rightarrow h=10\sqrt{3}$. Suy ra $M(0;0;5\sqrt{3})$, $N(5;10;0)$.

Ta có $\overrightarrow{BD}=(-10;10;0)$, $\overrightarrow{MN}=(5;10;-5\sqrt{3})$, $\overrightarrow{MB}=(10;0;-5\sqrt{3})$.

Tích có hướng: $\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{MN}=(-50\sqrt{3};-50\sqrt{3};-150)$, với $|\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{MN}|=\sqrt{7500+7500+22500}=\sqrt{37500}=50\sqrt{15}$.

Khoảng cách: $d(BD,MN)=\frac{|\overrightarrow{MB}\cdot (\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{MN})|}{|\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{MN}|}=\frac{|-500\sqrt{3}+750\sqrt{3}|}{50\sqrt{15}}=\frac{250\sqrt{3}}{50\sqrt{15}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\approx 2,24$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,24.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay t=0 vào d: (1;0;-1) = A nên A thuộc d → Đúng. b) VTCP của d là (1;1;2) → Đúng. c) VTCP của d' là (1;1;-1), tích vô hướng (1;1;2)·(1;1;-1)=1+1-2=0 nên d ⊥ d'; mệnh đề 'không vuông góc' → Sai. d) d đi qua (1;0;-1), d' đi qua (2;1;1). Giải hệ (1+t;t;-1+2t)=(2+s;1+s;1-s): từ hai phương trình đầu t=1+s; thay vào: -1+2(1+s)=1-s ⟹ 1+2s=1-s ⟹ s=0, t=1, giao điểm (2;1;1). Hai đường thẳng cắt nhau nên không chéo nhau → Sai. Kết quả khớp bảng HD chấm đề 104: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với t=0, điểm trên d là (1;0;-1)=A nên A thuộc d.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tham số của d có hệ số (1;1;2) nên đó là một VTCP.
c) (AI giải đề cho tôi)
(1;1;2)·(1;1;-1)=1+1-2=0 nên d vuông góc d'; do đó mệnh đề 'không vuông góc' sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng cắt nhau tại (2;1;1) (t=1, s=0) nên không chéo nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn hoặc vuông, nên $\cos (d,d^{\prime })=\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}|}{|\vec{u}||\overrightarrow{u^{\prime }}|}=\frac{|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$. Do đó đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 104, Câu 3 = B).

Đáp án theo bảng HD chấm (đề 103, Phần II Câu 1): S S Đ Đ, tức a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng. (Ghi chú: bản gốc in nhãn các ý là e), f), g), h).)
a) Thay tọa độ $A(1;1;2)$ vào phương trình tham số của $d$: từ $y=t=1$ suy ra $x=1+1=2\ne 1$, nên $A$ không thuộc $d$. Sai.
b) Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$. Sai.
c) $\overrightarrow{u_d}=(1;1;2)$, $\overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=(1;1;-1)$; tích vô hướng $\overrightarrow{u_d}\cdot \overrightarrow{u_{d^{\prime }}}=1+1-2=0$ nên $d\perp d^{\prime }$. Đúng.
d) Điểm $d^{\prime }$ qua $(2;1;1)$ thuộc $d$ (với $t=1$: $x=2,y=1,z=1$), và hai vectơ chỉ phương không cùng phương, nên $d$ và $d^{\prime }$ cắt nhau tại điểm $(2;1;1)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn hoặc vuông, nên cosin của góc này bằng giá trị tuyệt đối của cosin góc giữa hai vectơ chỉ phương: $\cos (d,d^{\prime })=\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}|}{|\vec{u}||\overrightarrow{u^{\prime }}|}=\frac{|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$. Do đó đáp án là C (khớp với đáp án nguồn: mã đề 103, câu 4 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Đề 102, Phần II Câu 2. a) Từ phương trình tham số của $d$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;2)$ → Đúng. b) Với $t=0$: $d$ đi qua điểm $(1;0;-1)$, nên $A(1;0;-1)\in d$ → Đúng. c) $d$ đi qua $P(1;0;-1)$ với $\vec{u}=(1;1;2)$; $d^{\prime }$ đi qua $Q(2;1;1)$ với ${\vec{u}}^{\prime }=(1;1;-1)$. Giải $1+t=2+s,t=1+s,-1+2t=1-s$: từ hai phương trình đầu $t=1+s$ thỏa mãn, thay vào phương trình thứ ba: $-1+2(1+s)=1-s\iff 1+2s=1-s\iff s=0,t=1$. Vậy $d$ và $d^{\prime }$ cắt nhau tại điểm $(2;1;1)$, không chéo nhau → Sai. d) $\vec{u}\cdot {\vec{u}}^{\prime }=1+1-2=0$ nên $d^{\prime }\perp d$, do đó khẳng định '$d^{\prime }$ không vuông góc với $d$' → Sai. Kết quả khớp bảng HD chấm: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của $d$: $x=1+t,y=t,z=-1+2t$, vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=0$, điểm trên $d$ là $(1;0;-1)=A$, nên $A\in d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ tọa độ của $d$ và $d^{\prime }$: $1+t=2+s,t=1+s,-1+2t=1-s$ cho nghiệm $t=1,s=0$, hai đường cắt nhau tại $(2;1;1)$, nên không chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}\cdot {\vec{u}}^{\prime }=(1)(1)+(1)(1)+(2)(-1)=0$, nên $d^{\prime }\perp d$; khẳng định 'không vuông góc' là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vecto chỉ phương (góc nhọn hoặc vuông), nên lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng: $\cos (d,d^{\prime })=\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}|}{|\vec{u}||\overrightarrow{u^{\prime }}|}=\frac{|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$. Phương án A thiếu giá trị tuyệt đối; C sai mẫu số (dùng tổng thay vì tích); D sai công thức độ dài. Đáp án B, khớp với bảng đáp án nguồn (đề 102, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đề 101, Phần II Câu 2. Đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t\\ z=-1+2t\end{array}$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;1;2)$ và đi qua điểm $(1;0;-1)$. Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua điểm $(2;1;1)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime }}=(1;1;-1)$.
a) Sai: vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$.
b) Sai: với $A(1;1;2)$, từ $y=t=1$ suy ra $t=1$ khi đó $x=1+t=2\ne 1$, nên $A\notin d$.
c) Đúng: giải hệ $1+t=2+s,t=1+s,-1+2t=1-s$. Từ hai phương trình sau: $-1+2(1+s)=1-s\Rightarrow 3s=0\Rightarrow s=0,t=1$. Kiểm tra: $1+1=2=2+0$ thỏa mãn. Vậy $d$ và $d^{\prime }$ cắt nhau tại điểm $(2;1;1)$.
d) Đúng: $\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=1\cdot 1+1\cdot 1+2\cdot (-1)=0$, nên $d^{\prime }\perp d$.
Kết quả khớp bảng HD chấm: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(1;1;2)$, không phải $(1;0;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $A(1;1;2)$: $y=t=1\Rightarrow t=1\Rightarrow x=1+t=2\ne 1$, nên $A\notin d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ phương trình tham số: $1+t=2+s,t=1+s,-1+2t=1-s$ cho $s=0,t=1$, thỏa mọi phương trình. Vậy $d,d^{\prime }$ cắt nhau tại $(2;1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}=(1;1;2)\cdot (1;1;-1)=1+1-2=0$, nên $d^{\prime }\perp d$.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn hoặc vuông, nên $\cos (d,d^{\prime })=\frac{|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}|}{|\vec{u}||\overrightarrow{u^{\prime }}|}=\frac{|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$. Đáp án C khớp đáp án nguồn (đề 101, Câu 9 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ chỉ phương $u_1=(1;-2;-3)$ và $u_2=(-4;1;5)$. Tính $\cos (d_1,d_2)=\frac{|u_1\cdot u_2|}{|u_1||u_2|}=\frac{|-4-2-15|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{42}}=\frac{21}{\sqrt{588}}=\frac{21}{14\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng $30^0$, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;-2;-3)$, VTCP của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(-4;1;5)$.
$$\cos (d_1,d_2)=\frac{|1\cdot (-4)+(-2)\cdot 1+(-3)\cdot 5|}{\sqrt{1+4+9}\cdot \sqrt{16+1+25}}=\frac{|-4-2-15|}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{42}}=\frac{21}{\sqrt{588}}=\frac{21}{14\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
Vậy góc giữa hai đường thẳng bằng $30^{\circ }$. Khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vecto chỉ phương (lấy giá trị trong $[0;\frac{\pi }{2}]$). Theo công thức tích vô hướng: $\cos \left(\Delta ,{\Delta }^{\prime }\right)=\frac{\left|\vec{u}\cdot \overrightarrow{u^{\prime }}\right|}{\left|\vec{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{u^{\prime }}\right|}=\frac{\left|a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}}}$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (đề 1001, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;2)$ và $\overrightarrow{u_2}=(-1;1;1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=1\cdot (-1)+(-1)\cdot 1+2\cdot 1=-1-1+2=0$. Vậy hai vectơ vuông góc, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hai vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;1;1)$, $\overrightarrow{u_2}=(-1;-1;1)$. $\cos \phi =\frac{|1\cdot (-1)+1\cdot (-1)+1\cdot 1|}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{1}{3}$, nên $\phi \approx 70,53^{\circ }<80^{\circ }$. Đúng.

b) Đường $d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{1}$ đi qua $(-2;1;0)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=(1;-1;1)$. Kiểm tra thuộc $(P)$: $-2+3+0-1=0$ ✓; $\vec{u}\cdot \vec{n}=1-3+2=0$ ✓ nên $d\subset (P)$. Giao với ${\Delta }_1$: giải $(-2+t;1-t;t)=(-1+s;2+s;1+s)$ được $s=-1,t=0$, giao điểm $(-2;1;0)$ ✓. Giao với ${\Delta }_2$: $(-2+t;1-t;t)=(2-r;1-r;r)$ được $r=t=2$, giao điểm $(0;-1;2)$ ✓. Đúng.

c) Vecto pháp tuyến của $(P)$ là $(1;3;2)$, không cùng phương với $(1;2;3)$. Sai.

d) Thay $t=-1$ vào ${\Delta }_1$: $(-1-1;2-1;1-1)=(-2;1;0)=A$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \phi =\frac{|-1-1+1|}{3}=\frac{1}{3}\Rightarrow \phi \approx 70,53^{\circ }<80^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d$ nằm trong $(P)$ và cắt ${\Delta }_1$ tại $(-2;1;0)$, cắt ${\Delta }_2$ tại $(0;-1;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(P)$ là $(1;3;2)$, không cùng phương với $(1;2;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=-1$ trên ${\Delta }_1$ ta được điểm $(-2;1;0)=A$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(20;0;0)$, $C(0;40;0)$, $S(0;0;10)$, $M(0;20;0)$.
$\overrightarrow{SM}=(0;20;-10)$, $\overrightarrow{BC}=(-20;40;0)$, $\overrightarrow{SB}=(20;0;-10)$.
$[\overrightarrow{SM},\overrightarrow{BC}]=(20\cdot 0-(-10)\cdot 40;(-10)(-20)-0;0\cdot 40-20\cdot (-20))=(400;200;400)$, độ dài $=\sqrt{400^2+200^2+400^2}=600$.
Khoảng cách $d(SM,BC)=\frac{|\overrightarrow{SB}\cdot [\overrightarrow{SM},\overrightarrow{BC}]|}{600}=\frac{|8000-4000|}{600}=\frac{20}{3}\approx 6,67cm$.