Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

a) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=4,AD=2$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Lấy các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,SD$ sao cho $MA=3MB,\overrightarrow{NS}+4\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Tính thể tích khối tứ diện $SMNC$ và $\sin \alpha$, với $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$.

b) Một cuộc diễn tập phóng không được giả lập trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1 km ứng với thực tế. Hai drone bay thẳng đều trong hệ trục, xét tại thời điểm $t=0$ drone 1 ở tại điểm $A(2;-3;2)$, bay theo hướng vectơ $\vec{n}=(3;4;-1)$ và có vận tốc $v_1=16\sqrt{26}$ km/h; drone 2 ở tại điểm $B(-3;1;1)$, bay theo hướng vectơ $\vec{b}=(5;2;-1)$ và có vận tốc $v_2=16\sqrt{30}$ km/h. Tìm khoảng cách gần nhất của hai drone này khi ta theo dõi trong 10 phút đầu tiên.

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, đáy $ABC$ có cạnh $2\sqrt{3}$, chiều cao $A{A}^{\prime }=6$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh bên $A{A}^{\prime }$. Một điểm $M$ di động trong không gian sao cho tam giác $IAM$ cân tại $I$, diện tích tam giác $IAM$ bằng $\frac{9\sqrt{7}}{8}$ và $\widehat{AIM}$ là góc tù. Gọi $D$ là điểm đối xứng $A$ qua $BC$. Điểm $P$ thoả mãn $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2+P{D}^2+P{A}^{\prime 2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng $PM$ và cạnh bên $A{A}^{\prime }$.

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $1$ và thể tích bằng $\frac{2}{3}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$. Trên các cạnh $AB,SD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $EF$ song song $BG$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $DG$ và $EF$ bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n$ nguyên dương và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T=2m-n$.

Cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=3+2t\end{array}$ và $d_2:\frac{x-1}{2}=\frac{y-m}{1}=\frac{z+2}{-1}$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để hai đường thẳng $d_1,d_2$ cắt nhau.

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(2;-4;-1)$ tới đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{rl}& x=t\\ & y=2-t\\ & z=3+2t\end{array}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M$ nhận véctơ $\vec{a}$ làm véctơ chỉ phương và đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua điểm $M^{\prime }$ nhận véctơ ${\vec{a}}^{\prime }$ làm véctơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng $d$ song song với đường thẳng $d^{\prime }$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{1}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=-1-2t\\ z=2+2t\end{array}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho bằng

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó được mô hình hóa thành hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ${\Delta }_1:\frac{x-2}{5}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{3}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-6}{-1}$. Khi đó

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$, hai con đường đó được mô hình hóa thành hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ${\Delta }_1:\frac{x-2}{5}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-3}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y+4}{-2}=\frac{z-6}{1}$. Khi đó

Có một chiếc lồng bằng sắt dạng hình hộp chữ nhật $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2\text{ m},AD=3\text{ m},A{A}^{\prime }=1\text{ m}$. Người thợ hàn muốn hàn một thanh sắt $MN$ nối hai đoạn $AD$ và $B{D}^{\prime }$ (Hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của đoạn thanh sắt $MN$. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét.

Cho các đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-1}$ và $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+3}{2}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;0;2)$, cắt $d_1$ và vuông góc với $d_2$.

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, lập phương trình đường thẳng vuông góc chung $\Delta$ của hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{2}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=-3t\\ y=t\\ z=-1-t\end{array}$.

Cho $A(1;4;2),B(-1;2;4)$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=5-t\\ y=2+2t\\ z=4+t\end{array}$ và điểm $M$ thuộc $d$. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $AMB$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{2}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-4}$. Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, biết $AB=2a$, $AD=a$, $SA=3a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BM$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-2}{1}$ và hai điểm $A(6;3;-2)$, $B(1;0;-1)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $B$, vuông góc với $d$ và thỏa mãn khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của $\Delta$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai đường thẳng ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ tương ứng có ${\vec{u}}_1=(a_1;b_1;c_1)$ và ${\vec{u}}_2=(a_2;b_2;c_2)$ là hai vectơ chỉ phương. Gọi $\phi$ là góc giữa ${\Delta }_1$ và ${\Delta }_2$. Chọn khẳng định **ĐÚNG**

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2+7t\\ z=3+t\end{array}$. Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa $d_1$ và $d_2$ là