Cho $A(1;4;2),B(-1;2;4)$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=5-t\\ y=2+2t\\ z=4+t\end{array}$ và điểm $M$ thuộc $d$. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $AMB$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;-2;2)⟹AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
Diện tích tam giác $AMB$ là $S_{\Delta AMB}=\frac{1}{2}AB\cdot d(M,AB)=\sqrt{3}\cdot d(M,AB)$.
Diện tích nhỏ nhất khi khoảng cách $d(M,AB)$ nhỏ nhất, tức $d(M,AB)=d(d,AB)$ (khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $d$ và $AB$).
Tính toán khoảng cách giữa $d$ và $AB$ ta được $d_{\min }=2\sqrt{2}$.
Do đó $S_{\min }=\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}=2\sqrt{6}$. Chọn C.