Cho phương trình ${\log }_3^{2}x-4{\log }_{3}x+m-3=0$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1<x_2$ thỏa mãn $x_2-81x_1<0$.

Đặt $t={\log }_{3}x⟹x=3^t$. Phương trình trở thành $t^2-4t+m-3=0$.
Để có 2 nghiệm phân biệt thì ${\Delta }^{\prime }=4-(m-3)=7-m>0⟺m<7$.
Khi đó hai nghiệm $t_1<t_2$ thỏa mãn $t_1+t_2=4$ và $t_1{t}_2=m-3$.
Điều kiện $x_2-81x_1<0⟺3^{t_2}<81\cdot 3^{t_1}=3^{t_1+4}⟺t_2<t_1+4$.
Vì $t_2=4-t_1$ nên $4-t_1<t_1+4⟺2t_1>0⟺t_1>0$.
Để $0<t_1<t_2$ thì:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }>0\\ S>0\\ P>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m<7\\ 4>0\\ m-3>0\end{array}⟺3<m<7$.
Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{4;5;6\}$. Có 3 giá trị nguyên. Chọn C.