Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vị trí hai đường (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, vị trí tương đối của $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$ và $d_2:\frac{x-3}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+2}{2}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=2t\end{array}$, $(t\in \mathbb{R})$ và $d_2:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{-1}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

Một kỹ sư thiết kế một đường ống thẳng dẫn dầu từ trạm $A(1;-2;0)$ đến nối với một đường ống dầu khác có phương trình $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{2}$ tại điểm $B$ (ảnh minh họa). Để tiết kiệm chi phí người kỹ sư phải thiết kế đường ống dẫn từ $A$ đến điểm nối $B$ có độ dài ngắn nhất. Phương trình đường ống dẫn dầu có dạng $AB:\frac{x-1}{a}=\frac{y+2}{b}=\frac{z}{7}$. Tính giá trị $a+b$?

Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}$ và ${\Delta }^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1+2t^{\prime }\\ y=-2+2t^{\prime }\\ z=4+t^{\prime }\end{array}$.

Trong hệ thống quản lý bay tại sân bay Cam Ranh (Nha Trang), người ta thiết lập hệ thống tọa độ $Oxyz$ với $O$ là trạm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi như mặt phẳng). Đơn vị đo trên các trục là km.

Một chiếc máy bay thương mại $M_1$ đang bay theo lộ trình là đường thẳng $d_1$ đi qua điểm $A(2;4;10)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(1;1;-0,5)$. Cùng lúc đó, một máy bay không người lái (drone) giám sát $M_2$ đang bay trên đường thẳng $d_2$ đi qua điểm $B(5;-1;12)$ và có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(0;1;0,2)$. Tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai máy bay trong quá trình di chuyển để đảm bảo an toàn hàng không (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-1-2t\\ z=2+t\end{array}$. Đường thẳng vuông góc chung của $d_1,d_2$ có một vectơ chỉ phương là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-z-1=0$ và hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1},{\Delta }_2:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}$. Biết rằng có hai đường thẳng $d_1,d_2$ nằm trong $(P)$, cắt ${\Delta }_2$ và cách ${\Delta }_1$ một khoảng bằng $\frac{\sqrt{6}}{2}$. Gọi ${\vec{u}}_1=(a;b;1),{\vec{u}}_2=(1;c;d)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $d_1,d_2$. Tính $S=a+b+c+d$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$, gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa $MN$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2+7t^{\prime }\\ z=3+t^{\prime }\end{array}$. Phương trình đường phân giác của góc tù giữa $d_1$ và $d_2$ là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=4a,SA\perp (ABCD)$ và cạnh $SC$ tạo với đáy góc $60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $DN=a$. Khoảng cách giữa $MN$ và $SB$ là

Trực thăng cứu hộ Alpha cất cánh lúc $10$ giờ $00$ từ điểm xuất phát $A$. Nó bay thẳng với vận tốc $300\text{ km/h}$ tới đỉnh núi $D$, nơi xảy ra tai nạn. Cùng lúc đó, trực thăng Beta cất cánh từ đỉnh núi $T$ với vận tốc $350\text{ km/h}$ để đưa du khách về vị trí $B$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ với đơn vị trên các trục là kilômét sao cho $A(10;6;0),D(4;-3;3),T(7;-8;3),B(4;16;0)$. Cho biết hai trực thăng có đường bay giao nhau tại $S$. Khi Alpha tới $S$ thì Beta đã đi qua $S$ trước đó một khoảng thời gian bằng bao nhiêu giây (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=3+4t\\ z=-2+6t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1-t^{\prime }\\ y=2+2t^{\prime }\\ z=3t^{\prime }\end{array}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $AD$, $H$ là giao điểm của $CN$ với $DM$. Biết $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SH=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $DM$ và $SC$.

Cho $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a\sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SD$ bằng

Hai đường thẳng sau ở vị trí tương đối nào? $(d):\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=7+t\\ z=3+4t\end{array}$ và $(d^{\prime }):\{\begin{array}{l}x=6+3t^{\prime }\\ y=-1-2t^{\prime }\\ z=-2+t^{\prime }\end{array}$

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}^{\prime }$ là:

Cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=1-2t\\ z=2+2t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2-4t\\ z=4+4t\end{array}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $AD=2a,AB=BC=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $DM$ bằng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=AD=a\sqrt{2},A{A}^{\prime }=a$. Tính theo $a$ khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $AC$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$. Biết tọa độ các điểm $A(1;1;1)$, $B(2;3;1)$, $C(3;1;3)$, $D(3;2;4)$. Hai điểm $M,N$ thay đổi và lần lượt thuộc các đoạn thẳng $AB,CD$.