Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Góc giữa $A{B}^{\prime }$ và mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng

Cho hai số phức $z_1=2+i$ và $z_2=5-3i$. Số phức liên hợp của số phức $z=z_1(3-2i)+z_2$ là

Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^2+2x$ và trục hoành. Quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{3x}+1$ là

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2;4]$ bằng:

Số cách xếp 2 học sinh vào một hàng ngang gồm 9 ghế, mỗi học sinh ngồi một ghế là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:


Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:


Phương trình $f(x)=m$ có ba nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

Nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình $z^2-2z+4=0$ là

Gọi $n$ là số hình đa diện trong bốn hình dưới đây. Tìm $n$.


Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z-12=0$ bằng

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=3$ và số hạng thứ hai $u_2=-6$. Số hạng thứ tư bằng

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=a$, $AB=3a$, $AD=4a$. Thể tích khối hộp là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai véctơ $\vec{a}=(1;-2;1)$ và $\vec{b}=(2;-4;-2)$. Khi đó $\vec{a}\cdot \vec{b}$ bằng

Giá trị của $27^{\frac{1}{3}}$ bằng

Cho tích phân ${\int }_{-1}^0\sqrt[3]{1+x}dx$, với cách đặt $t=\sqrt[3]{1+x}$ thì tích phân đã cho bằng tích phân nào sau đây?

Các số thực $x,y$ thỏa mãn $x+yi=3-4i$, với $i$ là đơn vị ảo là

Cho hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=1-2t\\ z=2+2t\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2-4t\\ z=4+4t\end{array}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho khối nón đỉnh $S$ có đáy là hình tròn tâm $O$, bán kính $R$. Biết $SO=h$. Độ dài đường sinh của khối nón bằng

Một vật chuyển động theo phương trình $v=10t+5\text{ (m/s)}$. Tính quãng đường vật đi được kể từ thời điểm $t=0\text{ (giaˆy)}$ đến thời điểm $t=3\text{ (giaˆy)}$.

Đạo hàm của hàm số $f(x)={\log }_{2}x$ là

Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn ${\log }_{2}a+2{\log }_{2}b=3$. Giá trị của $a{b}^2$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:


Hàm số đã cho có bao nhiêu cực trị?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;-6;3)$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=-2-2t\\ z=t\end{array}$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $d$. Khi đó tọa độ điểm $H$ là:

Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng $3\pi a^2$ và bán kính đáy là $a$. Tính độ dài đường cao của hình trụ đó.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=m{x}^3-(m^2+1)x^2+2x-3$ đạt cực tiểu tại điểm $x=1$.

Cho hình nón có chiều cao bằng $4\sqrt{2}$. Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua trung điểm của trục và vuông góc với trục, thiết diện thu được có diện tích bằng $8\pi$. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Cho biết $AB=2a$, $BC=\sqrt{13}a$, $C{C}^{\prime }=4a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $CE$ bằng

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-2+2i|=\sqrt{2}|z-1+i|$. Mô đun của $z$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;-1;5)$ và $N(0;0;1)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $M,N$ và song song với trục $Oy$ có phương trình là:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ $a<b<c$ như hình vẽ.


Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{x+1}$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây?


Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$, $D(1;2;-1)$ với $a,b,c$ là các số thực khác 0. Biết rằng bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng khi khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là lớn nhất, giá trị $a+b+c$ bằng

Cho số thực $a$ thỏa mãn $9^a+9^{-a}=23$, giá trị của biểu thức $\frac{5+3^a+3^{-a}}{1-3^a-3^{-a}}$ bằng

Số lượng của loài vi khuẩn $A$ trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s(t)=s(0)\cdot 2^t$, trong đó $s(0)$ là số lượng vi khuẩn $A$ lúc ban đầu, $s(t)$ là số lượng vi khuẩn $A$ có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 nghìn con. Sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn $A$ là 10 triệu con.

Đề kiểm tra 15 phút môn Toán có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng được 1,0 điểm. Một học sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để bạn học sinh đó đạt từ 8,0 trở lên.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f^{\prime }(x)+xf(x)=2x{e}^{-x^2}$ và $f(0)=-2$. Tính $f(1)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm $m$ để bất phương trình $m<f(\sin x)$ đúng với mọi $x\in (0;\pi )$.


Cho một hình trụ có chiều cao bằng 6 và bán kính bằng 5. Lấy hai điểm $A$ và $A^{\prime }$ thuộc hai đường tròn đáy khác nhau của hình trụ và $A{A}^{\prime }=10$. Khoảng cách giữa đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và trục của hình trụ đã cho bằng

Cho phương trình $4^x-2m\cdot 2^x+3m-2=0(\ast )$ ($m$ là tham số thực). Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho phương trình có hai nghiệm trái dấu là khoảng $(a;b)$. Tính $3a+b$.

Có bao nhiêu số thực $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=|x^2-2x+m|+4x$ bằng -1?

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(\sqrt{f(\sin x)+2}\right)=f(m)$ có nghiệm thuộc nửa khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$?


Cho các số thực $a,b,c$ lớn hơn 1 thỏa mãn ${\log }_{2}a\ge (1-{\log }_{2}b\cdot {\log }_{2}c)\cdot {\log }_{bc}2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\log }_2^{2}a+28{\log }_2^{2}b+28{\log }_2^{2}c$.

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A^{\prime }B$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$; góc giữa $A{A}^{\prime }$ với $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Khoảng cách từ $A$ đến các đường thẳng $B{B}^{\prime },D{D}^{\prime }$ cùng bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ và $(C^{\prime }CD{D}^{\prime })$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Có bao nhiêu cặp số thực $(x;y)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $x^2+y^3=2020$ và ${\log }_{3}x\cdot {\log }_{2}y=1$?