Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục $Ox$ tại ba điểm có hoành độ $a<b<c$ như hình vẽ.


Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Chọn D.
Trên đoạn $[a;b]$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới trục hoành nên $f^{\prime }(x)\le 0$, suy ra hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $[a;b]$, do đó $f(a)>f(b)$.
Trên đoạn $[b;c]$, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía trên trục hoành nên $f^{\prime }(x)\ge 0$, suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên $[b;c]$, do đó $f(c)>f(b)$.
Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $f^{\prime }(x)$ và trục hoành trên $[a;b]$ là $S_1$, và trên $[b;c]$ là $S_2$:
- $S_1=-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(a)-f(b)$,
- $S_2={\int }_b^c{f}^{\prime }(x)dx=f(c)-f(b)$.
Từ hình vẽ ta thấy rõ ràng miền hình phẳng trên $[b;c]$ có diện tích lớn hơn miền hình phẳng trên $[a;b]$, tức $S_2>S_1$.
Suy ra $f(c)-f(b)>f(a)-f(b)⟹f(c)>f(a)$.
Kết hợp lại ta được $f(c)>f(a)>f(b)$.