Cho phương trình $4^x-2m\cdot 2^x+3m-2=0(\ast )$ ($m$ là tham số thực). Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho phương trình có hai nghiệm trái dấu là khoảng $(a;b)$. Tính $3a+b$.

Chọn D.
Đặt $t=2^x>0$. Phương trình $(\ast )$ trở thành:
$$t^2-2mt+3m-2=0(1)$$
Phương trình $(\ast )$ có 2 nghiệm trái dấu $x_1<0<x_2⟺$ phương trình $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn $0<t_1<1<t_2$.
Xét $g(t)=t^2-2mt+3m-2$.
Điều kiện để $0<t_1<1<t_2$ là:
$$\{\begin{array}{l}g(1)<0\\ g(0)>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}1-2m+3m-2<0\\ 3m-2>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m-1<0\\ m>\frac{2}{3}\end{array}⟺\frac{2}{3}<m<1.$$
(Khi $g(1)<0$ thì biệt thức ${\Delta }^{\prime }=m^2-3m+2=(m-1)(m-2)>0$ luôn thỏa mãn với mọi $m\in (2/3;1)$).
Do đó $(a;b)=\left(\frac{2}{3};1\right)$, suy ra $a=\frac{2}{3}$ và $b=1$.
Vậy $3a+b=3\cdot \frac{2}{3}+1=2+1=3$.