Có bao nhiêu số thực $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=|x^2-2x+m|+4x$ bằng -1?

Chọn D.
Ta có $y=|x^2-2x+m|+4x$.
- Khi $x^2-2x+m\ge 0$, $y=x^2+2x+m=(x+1{)}^2+m-1$.
- Khi $x^2-2x+m<0$, $y=-x^2+6x-m$.
Để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng $-1$, xét sự liên tục và các điểm tới hạn:
Ta luôn có $y\ge x^2-2x+m+4x=(x+1{)}^2+m-1\ge m-1$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=-1$ và $(-1{)}^2-2(-1)+m\ge 0⟺3+m\ge 0⟺m\ge -3$.
Khi đó giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=-1$ là $y(-1)=m-1$.
Theo đề bài, GTNN bằng $-1⟺m-1=-1⟺m=0$.
Thử lại với $m=0$:
$y=|x^2-2x|+4x$.
- Với $x\le 0$ hoặc $x\ge 2$: $y=x^2+2x=(x+1{)}^2-1\ge -1$, dấu bằng tại $x=-1$.
- Với $0<x<2$: $y=-x^2+6x=-(x-3{)}^2+9>0>-1$.
Vậy với $m=0$, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đúng $-1$.
Vậy có duy nhất 1 giá trị của $m$ thỏa mãn.