Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-3y+5z-9=0$. Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$?

Trong không gian cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a$ và $AC=a\sqrt{3}$. Tính độ dài đường sinh $l$ của hình nón có được khi quay tam giác $ABC$ xung quanh trục $AB$.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=3x^2+8\sin x$.

Cho các mệnh đề sau:
(I) Hàm số $y={\left(\frac{2020}{e}\right)}^{x^2}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
(II) Hàm số $y=x^{\alpha }$ (với $\alpha$ là một số thực âm) luôn có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.
(III) Hàm số $y={\log }_2{x}^2$ có tập xác định là $(0;+\infty )$.
(IV) Hàm số $y=\sqrt[3]{x}$ có đạo hàm là $y^{\prime }=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Cho số phức $z=(3-2i)(1+i{)}^2$. Môđun của số phức $w=iz+\bar{z}$ là

Một mặt cầu có độ dài đường kính bằng 4. Tính diện tích của mặt cầu đó?

Đạo hàm của hàm số $y=3^{x^3+2}$ là

Cho hai số phức $z_1=1+2i$ và $z_2=2-3i$. Phần ảo của số phức $w=3z_1-2z_2$ là

Tính tổng diện tích tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $\{3;5\}$ có các cạnh bằng 1.

Gọi $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2+2z+4=0$. Khi đó $A=|z_1{|}^2+|z_2{|}^2$ có giá trị bằng

Cho các số thực $a,b$ và các mệnh đề:
(1) ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$.
(2) ${\int }_a^{b}2f(x)dx=2{\int }_b^{a}f(x)dx$.
(3) ${\int }_a^b{f}^2(x)dx={\left[{\int }_a^{b}f(x)dx\right]}^2$.
(4) ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(u)du$.
Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề đúng?

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm $M$ trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức $z$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho $x,a,b$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_7\left(\frac{1}{x}\right)=2{\log }_{7}a-6{\log }_{49}b$. Khi đó giá trị của $x$ là

Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy $R=2$ và đường sinh $l=6$ bằng:

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Số nghiệm của phương trình $3f(x)+4=0$ là

Hình trụ có bán kính đáy bằng $a$ và thiết diện qua trục là hình vuông, diện tích xung quanh hình trụ đó bằng

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4$ trên đoạn $[-4;0]$ lần lượt là $M$ và $m$. Giá trị của tổng $M+m$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $M(5;-6;2)$ lên mặt phẳng $(Oxz)$ có tọa độ là

Cho số phức $z=4-3i$. Phần thực, phần ảo của số phức $\bar{z}$ lần lượt là

Khối đa diện đều loại $\{3;4\}$ có tất cả bao nhiêu cạnh?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị hàm số $f^{\prime }(x)$ như hình vẽ.



Hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(4;-3;5)$ và $B(2;-5;1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ và vuông góc với đường thẳng $d:\frac{x+1}{3}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z+9}{13}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2+4x-4y+8z=0$. Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$.

Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Newton của $P(x)={\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{15}$.

Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$ và các điểm $A,B,C$ nằm trên mặt cầu $(S)$ sao cho $AB=3,AC=4,BC=5$ và khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng 1. Thể tích của khối cầu $(S)$ bằng

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-m{x}^2-2(3m^2-1)x+\frac{2}{3}$ có hai điểm cực trị có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho $x_1{x}_2+2(x_1+x_2)=1$?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=BC=3a\sqrt{2}$, $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^{\circ }$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$; $AB=AD=2a;DC=a$. Điểm $I$ là trung điểm đoạn $AD$, hai mặt phẳng $(SIB)$ và $(SIC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $60^{\circ }$. Tính khoảng cách từ $D$ đến $(SBC)$ theo $a$.

Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó $\cos (AB,DM)$ bằng

Diện tích hình phẳng của phần tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

Bất phương trình ${\log }_{0,5}(2x-3)>0$ có tập nghiệm là

Phương trình ${\log }_2(3\cdot 2^x-1)=2x+1$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Cho phương trình $9^x-(2m+3)\cdot 3^x+81=0$ ($m$ là tham số thực). Giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=10$ thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[-1;2]$ và thỏa mãn điều kiện $f(x)=x+2+xf(3-x^2)$. Tích phân $I={\int }_{-1}^{2}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${\int }_{-5}^{1}f(x)dx=9$. Tích phân ${\int }_0^2[f(1-3x)+9]dx$ bằng

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{\sqrt{a{x}^2+1}}$ có đồ thị $(C)$. Tìm giá trị của $a$ để đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đó cách đường tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 0 một khoảng bằng $\sqrt{2}-1$.

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.



Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-5;5]$ sao cho phương trình
${\log }_3^2(f(x)+1)-{\log }_{\sqrt{2}}^2(f(x)+1)+(2m-8){\log }_{1/2}(f(x)+1)+2m=0$
có 2 nghiệm $x\in (-1;1)$?

Cho hàm số $f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình sau:



Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình
$2f(\sin x-2)-\frac{2{\sin }^{3}x}{3}+\frac{5\cos 2x}{4}+\sin x>m+\frac{19}{12}$
nghiệm đúng với mọi $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

Cho hàm số đa thức $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Biết $f(0)=0$ và đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình sau:



Hàm số $g(x)=4f(x)+x^2$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình dưới đây:



Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in (-5;5)$ để phương trình $f^2(x)-(m+4)f(x)+2m+4=0$ có 6 nghiệm phân biệt?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hai điểm $M,N$ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $AB$ và $AD$ ($M$ và $N$ không trùng với $A$) sao cho $2\frac{AB}{AM}+3\frac{AD}{AN}=8$. Kí hiệu $V,V_1$ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S.ABCD$ và $S.MBCDN$. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số $\frac{V_1}{V}$.

Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $0<x<1<y$ và $(4^x+1{)}^y<(4^y+1{)}^x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^2+3}{x-y}$.

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m\in [-1;1]$ sao cho phương trình ${\log }_{m^2+1}(x^2+y^2)={\log }_2(2x+2y-2)$ có nghiệm nguyên $(x;y)$ duy nhất?