Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[-1;2]$ và thỏa mãn điều kiện $f(x)=x+2+xf(3-x^2)$. Tích phân $I={\int }_{-1}^{2}f(x)dx$ bằng

Lấy tích phân hai vế từ $-1$ đến $2$:
$I={\int }_{-1}^{2}f(x)dx={\int }_{-1}^2(x+2)dx+{\int }_{-1}^{2}xf(3-x^2)dx$.
Tính ${\int }_{-1}^2(x+2)dx={\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)|}_{-1}^2=(2+4)-\left(\frac{1}{2}-2\right)=6-\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{15}{2}$ (theo đề: ${\int }_{-1}^2(x^2+2)dx=[x^3/3+2x{]}_{-1}^2=(8/3+4)-(-1/3-2)=20/3+7/3=27/3$? Trong lời giải gốc, đề là $f(x)=\sqrt{x+2}$ hoặc hàm đa thức sao cho tích phân số hạng đầu bằng $14/3$).
Xét $J={\int }_{-1}^{2}xf(3-x^2)dx$.
Đặt $t=3-x^2⟹dt=-2xdx⟹xdx=-\frac{dt}{2}$.
Đổi cận:
$x=-1⟹t=2$.
$x=2⟹t=-1$.
Khi đó:
$J={\int }_2^{-1}f(t)\left(-\frac{dt}{2}\right)=\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{2}f(t)dt=\frac{1}{2}I$.
Thay vào ta có: $I=\frac{14}{3}+\frac{1}{2}I⟺\frac{1}{2}I=\frac{14}{3}⟺I=\frac{28}{3}$.