Cho phương trình $9^x-(2m+3)\cdot 3^x+81=0$ ($m$ là tham số thực). Giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=10$ thuộc khoảng nào sau đây?

Đặt $t=3^x$ ($t>0$). Phương trình trở thành:
$t^2-(2m+3)t+81=0(\ast )$.
Phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khi và chỉ khi phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm dương phân biệt $t_1,t_2$:
$\{\begin{array}{l}\Delta =(2m+3{)}^2-4\cdot 81>0\\ S=2m+3>0\\ P=81>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2m+3>18\\ 2m+3>0\end{array}⟺2m>15⟺m>\frac{15}{2}$.
Theo định lý Vi-ét: $t_1{t}_2=81⟺3^{x_1}\cdot 3^{x_2}=3^4⟺3^{x_1+x_2}=3^4⟺x_1+x_2=4$.
Ta có:
$x_1^2+x_2^2=10⟺(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=10⟺4^2-2x_1{x}_2=10⟺2x_1{x}_2=6⟺x_1{x}_2=3$.
Xét hệ:
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\\ x_1{x}_2=3\end{array}⟺\{x_1,x_2\}=\{1;3\}$.
Khi đó hai nghiệm tương ứng của phương trình $(\ast )$ là $t_1=3^1=3$ và $t_2=3^3=27$.
Theo Vi-ét: $t_1+t_2=2m+3⟺3+27=2m+3⟺30=2m+3⟺2m=27⟺m=\frac{27}{2}=13,5$.
Giá trị $m=13,5>\frac{15}{2}$ thỏa mãn điều kiện và thuộc khoảng $(10;15)$.