Cho các mệnh đề sau:
(I) Hàm số $y={\left(\frac{2020}{e}\right)}^{x^2}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
(II) Hàm số $y=x^{\alpha }$ (với $\alpha$ là một số thực âm) luôn có một đường tiệm cận đứng và một đường tiệm cận ngang.
(III) Hàm số $y={\log }_2{x}^2$ có tập xác định là $(0;+\infty )$.
(IV) Hàm số $y=\sqrt[3]{x}$ có đạo hàm là $y^{\prime }=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

+) Hàm số $y={\left(\frac{2020}{e}\right)}^{x^2}$ có $y^{\prime }=2x{\left(\frac{2020}{e}\right)}^{x^2}\ln \left(\frac{2020}{e}\right)$. Vì $\frac{2020}{e}>1$ nên $\ln \left(\frac{2020}{e}\right)>0$. Do đó $y^{\prime }>0$ khi $x>0$ và $y^{\prime }<0$ khi $x<0$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$, do đó mệnh đề (I) sai.
+) Với $\alpha <0$, đồ thị hàm số lũy thừa $y=x^{\alpha }$ trên $(0;+\infty )$ có ${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^{\alpha }=+\infty$ nên trục $Oy$ ($x=0$) là tiệm cận đứng; ${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{\alpha }=0$ nên trục $Ox$ ($y=0$) là tiệm cận ngang. Do đó mệnh đề (II) đúng.
+) Hàm số $y={\log }_2{x}^2$ xác định khi $x^2>0⟺x\ne 0$. Tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, do đó mệnh đề (III) sai.
+) Với $x\ne 0$, hàm số $y=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{3}{x}^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. Do đó mệnh đề (IV) đúng.
Vậy có 2 mệnh đề đúng là (II) và (IV).