Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Hai điểm $M,N$ lần lượt thuộc các đoạn thẳng $AB$ và $AD$ ($M$ và $N$ không trùng với $A$) sao cho $2\frac{AB}{AM}+3\frac{AD}{AN}=8$. Kí hiệu $V,V_1$ lần lượt là thể tích của các khối chóp $S.ABCD$ và $S.MBCDN$. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số $\frac{V_1}{V}$.

Đặt $x=\frac{AM}{AB}$ và $y=\frac{AN}{AD}$ ($0<x,y\le 1$).
Giả thiết: $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=8$.
Thể tích khối chóp $S.AMN$ so với $S.ABCD$ là:
$\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AM}{AB}\cdot \frac{AN}{AD}=\frac{1}{2}xy$.
Do đó:
$\frac{V_1}{V}=\frac{V_{S.ABCD}-V_{S.AMN}}{V_{S.ABCD}}=1-\frac{1}{2}xy$.
Tỉ số $\frac{V_1}{V}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi tích $xy$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc xét ràng buộc $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=8$:
Vì $x\le 1⟹\frac{2}{x}\ge 2⟹\frac{3}{y}=8-\frac{2}{x}\le 6⟹y\ge \frac{1}{2}$.
Tương tự $y\le 1⟹\frac{3}{y}\ge 3⟹\frac{2}{x}=8-\frac{3}{y}\le 5⟹x\ge \frac{2}{5}$.
Ta có $\frac{3}{y}=8-\frac{2}{x}=\frac{8x-2}{x}⟹y=\frac{3x}{8x-2}$.
Xét hàm số $f(x)=xy=\frac{3x^2}{8x-2}$ với $x\in \left[\frac{2}{5};1\right]$.
$f^{\prime }(x)=\frac{6x(8x-2)-24x^2}{(8x-2{)}^2}=\frac{24x^2-12x}{(8x-2{)}^2}=\frac{12x(2x-1)}{(8x-2{)}^2}$.
$f^{\prime }(x)=0⟺x=\frac{1}{2}\in \left[\frac{2}{5};1\right]$.
Tính các giá trị:
$f(1/2)=\frac{3(1/4)}{4-2}=\frac{3/4}{2}=\frac{3}{8}$.
$f(2/5)=\frac{3(4/25)}{16/5-2}=\frac{12/25}{6/5}=\frac{2}{5}=0,4>\frac{3}{8}$.
$f(1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}>\frac{3}{8}$.
Do đó $\min xy=\frac{3}{8}$ khi $x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$.
Khi đó giá trị lớn nhất của tỉ số là:
$\max \frac{V_1}{V}=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{8}=1-\frac{3}{16}=\frac{13}{16}$.