Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $0<x<1<y$ và $(4^x+1{)}^y<(4^y+1{)}^x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^2+3}{x-y}$.

Lấy logarit tự nhiên hai vế của bất đẳng thức $(4^x+1{)}^y<(4^y+1{)}^x$:
$y\ln (4^x+1)<x\ln (4^y+1)⟺\frac{\ln (4^x+1)}{x}<\frac{\ln (4^y+1)}{y}$ (vì $x,y>0$).
Xét hàm số $f(t)=\frac{\ln (4^t+1)}{t}$ trên $(0;+\infty )$.
Đạo hàm: $f^{\prime }(t)=\frac{\frac{4^t\ln 4}{4^t+1}\cdot t-\ln (4^t+1)}{t^2}=\frac{t\cdot 4^t\ln 4-(4^t+1)\ln (4^t+1)}{t^2(4^t+1)}<0,\forall t>0$.
Do đó hàm số $f(t)$ luôn nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$.
Vì $f(x)<f(y)$ nên suy ra $x>y$ (hoặc xét tỉ số $t=x/y>1$).
Đặt $t=\frac{x}{y}$, biểu thức $P$ biến đổi thành $P=\frac{t^2+3}{t-1}=t-1+\frac{4}{t-1}+2$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$P\ge 2\sqrt{(t-1)\cdot \frac{4}{t-1}}+2=2\cdot 2+2=6$.
Dấu bằng xảy ra khi $t-1=\frac{4}{t-1}⟺(t-1{)}^2=4⟺t-1=2⟺t=3$, tức $x=3y$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $6$.