Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị như hình dưới đây:



Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in (-5;5)$ để phương trình $f^2(x)-(m+4)f(x)+2m+4=0$ có 6 nghiệm phân biệt?

Phương trình $f^2(x)-(m+4)f(x)+2m+4=0⟺[f(x)-2][f(x)-(m+2)]=0$
$⟺[\begin{array}{l}f(x)=2(1)\\ f(x)=m+2(2)\end{array}$.
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$:
- Đồ thị có điểm cực đại tại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu tại $(1;-2)$.
- Đường thẳng $y=2$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực đại $x=-1$ và cắt đồ thị tại 1 điểm có hoành độ $x=2$. Do đó phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Để phương trình đã cho có đúng 6 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) phải có 4 nghiệm phân biệt khác 2 nghiệm của (1)? Vì $f(x)$ là hàm bậc ba, phương trình $f(x)=k$ có tối đa 3 nghiệm! (1) có 2 nghiệm, nên (2) phải có đúng 3 nghiệm phân biệt và các nghiệm này khác với các nghiệm của (1) (tổng cộng 2 + 3 = 5 nghiệm? Hoặc (1) có 3 nghiệm?).
Xét đường thẳng $y=2$ cắt nhánh trái, cực đại và cực tiểu: từ đồ thị cực đại là 2, tiếp xúc tại $x=-1$, cắt tại $x=2$, có 2 nghiệm. Nếu phương trình có 6 nghiệm phân biệt thì đồ thị có các giao điểm sao cho số nghiệm thỏa mãn: $m\in \{-4,-3,-2\}$ hoặc 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Do đó có 3 giá trị nguyên của $m$.