Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$; $AB=AD=2a;DC=a$. Điểm $I$ là trung điểm đoạn $AD$, hai mặt phẳng $(SIB)$ và $(SIC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc $60^{\circ }$. Tính khoảng cách từ $D$ đến $(SBC)$ theo $a$.

Vì hai mặt phẳng $(SIB)$ và $(SIC)$ cùng vuông góc với $(ABCD)$ và cắt nhau theo giao tuyến $SI$ nên $SI\perp (ABCD)$.
$I$ là trung điểm của $AD⟹IA=ID=a$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $BC$. Vì $SI\perp BC$ nên $BC\perp (SIK)⟹\widehat{SKI}$ là góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$, suy ra $\widehat{SKI}=60^{\circ }$.
Ta tính diện tích hình thang $ABCD$:
$S_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}=\frac{(2a+a)\cdot 2a}{2}=3a^2$.
$S_{IAB}=\frac{1}{2}IA\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 2a=a^2$.
$S_{IDC}=\frac{1}{2}ID\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{a^2}{2}$.
Do đó: $S_{IBC}=S_{ABCD}-S_{IAB}-S_{IDC}=3a^2-a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{3a^2}{2}$.
Kẻ đường cao $CH\perp AB$ tại $H⟹AH=CD=a⟹HB=a$, $CH=AD=2a$.
$BC=\sqrt{C{H}^2+H{B}^2}=\sqrt{4a^2+a^2}=a\sqrt{5}$.
Khoảng cách từ $I$ đến $BC$ là:
$IK=\frac{2S_{IBC}}{BC}=\frac{2\cdot \frac{3a^2}{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{3a}{\sqrt{5}}$.
Trong tam giác vuông $SIK$ tại $I$:
$SI=IK\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{3a}{\sqrt{5}}\cdot \sqrt{3}=\frac{3a\sqrt{15}}{5}$.
Kẻ $IH\perp SK$ tại $H⟹IH\perp (SBC)⟹d(I,(SBC))=IH$.
$IH=IK\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{3a}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a\sqrt{15}}{10}$.
Đường thẳng $AD$ cắt $BC$ tại điểm $E$. Vì $CD\parallel AB$ và $CD=\frac{1}{2}AB$ nên $D$ là trung điểm của $AE$.
$I$ là trung điểm $AD⟹\frac{ED}{EI}=\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3}$.
Do đó: $d(D,(SBC))=\frac{ED}{EI}\cdot d(I,(SBC))=\frac{2}{3}\cdot \frac{3a\sqrt{15}}{10}=\frac{a\sqrt{15}}{5}$.