Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$ và các điểm $A,B,C$ nằm trên mặt cầu $(S)$ sao cho $AB=3,AC=4,BC=5$ và khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng 1. Thể tích của khối cầu $(S)$ bằng

Do $A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=25=5^2=B{C}^2$ nên tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông $ABC$ là trung điểm cạnh huyền $BC$, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là:
$r=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$.
Hình chiếu vuông góc của tâm $O$ mặt cầu lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$ là $h=1$.
Bán kính khối cầu $(S)$ thỏa mãn:
$R=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2+1^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+1}=\sqrt{\frac{29}{4}}=\frac{\sqrt{29}}{2}$.
Thể tích của khối cầu $(S)$ là:
$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{\sqrt{29}}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{29\sqrt{29}}{8}=\frac{29\sqrt{29}\pi }{6}$.