Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=4a,SA\perp (ABCD)$ và cạnh $SC$ tạo với đáy góc $60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $DN=a$. Khoảng cách giữa $MN$ và $SB$ là

Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4a^2+16a^2}=2a\sqrt{5}$. Góc $\widehat{SCA}=60^{\circ }⟹SA=AC\tan 60^{\circ }=2a\sqrt{15}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A\equiv O(0;0;0)$, tia $Ax$ chứa $AB$, tia $Ay$ chứa $AD$, tia $Az$ chứa $AS$. Khi đó: $B(2a;0;0),D(0;4a;0),C(2a;4a;0),S(0;0;2a\sqrt{15})$. Vì $M$ là trung điểm $BC⟹M(2a;2a;0)$, $N\in AD$ sao cho $DN=a⟹N(0;3a;0)$. Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{NM}=(2a;-a;0)=a(2;-1;0)$, $\overrightarrow{SB}=(2a;0;-2a\sqrt{15})=2a(1;0;-\sqrt{15})$. Vectơ $[{\vec{u}}_{NM},{\vec{u}}_{SB}]=(\sqrt{15};2\sqrt{15};1)$ có độ dài $\sqrt{15+60+1}=2\sqrt{19}$. Lại có $\overrightarrow{NB}=(2a;-3a;0)$, nên $|[{\vec{u}}_{NM},{\vec{u}}_{SB}]\cdot \overrightarrow{NB}|=|2a\sqrt{15}-6a\sqrt{15}|=4a\sqrt{15}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng là $d(MN,SB)=\frac{4a\sqrt{15}}{2\sqrt{19}}=\frac{2a\sqrt{285}}{19}$. Chọn A.