Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy $AB=a$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=2a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }C$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$, $B^{\prime }(a;0;2a)$. Ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;2a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};-2a\right)$. Vecto pháp tuyến chung: $\vec{n}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(-a^2\sqrt{3};3a^2;\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)$, với $|\vec{n}|=a^2\sqrt{3+9+\frac{3}{4}}=\frac{a^2\sqrt{51}}{2}$. Lấy $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;0;2a)$, khoảng cách $d(A{B}^{\prime },A^{\prime }C)=\frac{|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{a^2\sqrt{3}}{\frac{a^2\sqrt{51}}{2}}=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{51}}=\frac{2a\sqrt{17}}{17}$. Vậy đáp án D.