Cho lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$. Biết $O$ là hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$, mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ hợp với đáy một góc $30^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là hình chiếu của $A^{\prime }$ lên $(ABCD)$ nên $A^{\prime }O\perp (ABCD)$. Giao tuyến của $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ và đáy là $AB$, khoảng cách từ $O$ đến $AB$ bằng $a/2$. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa $A^{\prime }O$ (vuông góc đáy) và hình chiếu, tức là góc giữa $A^{\prime }O$ và đường thẳng qua $O$ vuông góc $AB$ trong đáy, nên $\tan 30^{\circ }=\frac{A^{\prime }O}{a/2}$, suy ra $A^{\prime }O=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Thể tích: $V=S_{ABCD}\cdot A^{\prime }O=a^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$. Chọn D.