Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=3$, $AD=8$. Gọi $S$ là trọng tâm tam giác $ABC$. $M,N,G$ lần lượt là trung điểm của $S{A}^{\prime },S{B}^{\prime },S{C}^{\prime }$. Thể tích của khối $MNG.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $AB=3$, chiều cao $A{A}^{\prime }=8$. Diện tích đáy $S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$. Tam giác $MNG$ là ảnh của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ qua phép vị tự tâm $S$ tỉ số $\frac{1}{2}$ (vì $M,N,G$ là trung điểm $S{A}^{\prime },S{B}^{\prime },S{C}^{\prime }$), nên $\frac{S_{MNG}}{S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{1}{4}$. Khối $MNG.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là khối chóp cụt, thể tích bằng hiệu: $V=V_{S.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}-V_{S.MNG}=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 8\left(1-\frac{1}{8}\right)=6\sqrt{3}\cdot \frac{7}{8}=\frac{21\sqrt{3}}{4}$. Vậy chọn A.